application affine

E désigne l'espace affine (ou bien le plan affine) et ε son espace vectoriel associé.
Définition : une application f de E dans E est dite affine si il existe une application linéaire Φ de ε dans ε (endomorphisme de ε) telle que quels que soient les points A et B de E d'images respectives A' et B' l'image par Φ du vecteur est le vecteur

Point invariant par une application affine
Un point O de E est invariant par une application affine f de E lorsqu'il coïncide avec son image par f ; soit f(O) = O

Image d'une droite par une application affine
-
Soit D une droite passant par un point A et de vecteur directeur non nul .
- Soit f une application affine et Φ son endomorphisme associé.
L'image de la droite D par f est la droite passant par A' = f(A)
et de direction Φ( ) si Φ( ) sinon c'est le point A'.

Image d'un plan par une application affine
- Soit un plan passant par un point A et de système de vecteurs linéairement indépendant et .
- Soit f une application affine et Φ son endomorphisme associé.

L'image du plan par f peut être :


Image d'un barycentre par une application affine.
Par toute application affine d'un espace affine, l'image du barycentre d' un système de points pondérés est le barycentre du système constitué par les images de ces points, affectées respectivement des mêmes barycentres.
La conservation de la propriété du barycentre, pour tout système de points caractérisent les applications affines.
Exemple d'applications affines :