BAC S session 2006 Polynésie

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EXERCICE 4 (6 points)
Partie A

On donne le tableau de variation d'une fonction f dérivable sur :

On définit la fonction F sur par

1. Déterminer les variations de la fonction F sur ,
2. Montrer que 0 < F(3)< 4e^-2.

Partie B
La fonction f considérée dans la partie A est la fonction définie sur par f( x) = x²e^-x.
On appelle g la fonction définie sur par g(x) = e^-x.
On désigne par (C) et (Γ) les courbes représentant respectivement les fonctions f et g dans un repère orthogonal
Les courbes sont tracées en annexe.
1. a) Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles données dans la partie A.
On ne demande pas de justifier les limites.
b) Étudier les positions relatives des courbes (C) et (Γ).
2. Soit h la fonction définie sur par h(x) = (x² - l)e^-x.
a) Montrer que la fonction H définie sur par H(x) = (- x² -2x - l)e^-x est une primitive de la fonction h sur .
b) Soit un réel supérieur ou égal à 1.
On considère la partie du plan limitée par les courbes (C) et (Γ) et les droites
d'équations x = 1 et x = .
Déterminer l'aire A(), exprimée en unité d'aire, de cette partie du plan.
c) Déterminer la limite de A() lorsque tend vers + ∞
3. On admet que, pour tout réel m strictement supérieur à 4e^-2, la droite d'équation y = m coupe la courbe (C) au point P( x_P; m) et la courbe (T) au point Q( x_Q; m).
L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une seule valeur de x_P appartenant à l'intervalle ]-∞ ,-l] telle que la distance PQ soit égale à 1.
a) Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe)
les points P et Q tels que x_P ]-∞,-1] et PQ = 1.
b) Exprimer la distance PQ en fonction de x_P et de x_Q. Justifier l'égalité f(x_P)=g(x_Q).
c) Déterminer la valeur de x_P telle que PQ = 1.