Proposition 1 : « l'ensemble des points M de l'espace tels
que .
= 0 est le plan (AIO) ».
L'ensemble des points M tel que .
= 0 est le plan
passant par A et dont
est un vecteur normal . Vérifions si I et O appartiennent à
ce plan :
I n'appartient donc pas à ce plan , par conséquent la
proposition 1 est fausse.
Proposition 2 : « l'ensemble des points M de l'espace
tels que || +
|| = ||
- ||
est la sphère de diamètre [BC] ».
Faisons intervenir le isobarycentre I de B et C on a:
c'est bien une sphère de centre I et de rayon BC/2, comme I
milieu de [BC] c'est une sphère de diamètre [BC].
Proposition 3 : « le volume du tétraèdre
OABC est égal à 4 ».
donc la proposition 3 est fausse.
Proposition 4 :
déterminons un vecteur normal
au plan (ABC) :
donc le plan (ABC) admet bien pour équation cartésienne
2x + y + 2z = 4 .
et le point H de coordonnées (8/9 ; 4/9 ; 8/9 ) est bien le
projeté orthogonale du point O sur le plan (ABC) , la proposition
4 est vrai.
Proposition 5 :
la droite (AG) admet bien pour représentation paramétrique :
la proposition 5 est vrai.