On donne le tableau de variation d'une fonction f dérivable
sur :
On définit la fonction F sur
par
1. La fonction f est la dérivée de la
fonction F sur
et sur le tableau de variation on peut déduire le signe de
f(x) selon les valeurs de x , F'(x) =
f(x)
0 pour tout réel x donc F est croissante sur .
2. Montrer que 0 < F(3) < 4e-2.
D'après le tableau de variation de la fonction f pour
tout réel x de ]2 ; + ∞
[ on a :
Partie B
1. a) Pour tout réel x on a :
f ' (x) est du signe de x(2 - x) car e-x
>0 sur
Or x(2 - x) est bien un polynôme du second degré
ayant deux racines 0 et 2 et donc le signe est négatif à
l'extérieur de ses racines, donc les variations de f
correspondent au signe de f '(x).
Les valeurs des extremums correspondent également : f(0)
= 0 et f(2) = 4e-2.
b) Il suffit pour cela d'étudier le signe de f(x)
- g(x)
Cette différence est du signe du polynôme (x -
1)(x + 1) car e-x >0 sur
cequi donne comme tableau de signe :
Sur ]- ∞ ; - 1]
∪ [1 ; + ∞
[ la courbe (C) est au dessus de la courbe (Γ)
Sur [-1 ; 1 ] la courbe la courbe (C) est au dessous de la courbe
(Γ)
2. Soit h la fonction définie sur
par h(x) = (x2 - l)e-x.
a) Pour tout réel x on a :
H(x) = (-x2 -2x - l)e-x
donc
H '(x) = (2x -2)e-x - (-x2
-2x - l)e-x = (-2x -2 + x2
+ 2x + l)e-x = (x2 - l)e-x
= h(x)
donc H est une primitive de la fonction h sur .
b) Sur l'intervalle [1 ;
] la courbe (C) est au dessus de la courbe (Γ)
( voir question 1 ) donc l'aire A()
exprimée en unité d'aire est :
c)
3. On admet que, pour tout réel m strictement
supérieur à 4e-2, la droite d'équation
y = m coupe la courbe (C) au point P( xP; m)
et la courbe (T) au point Q( xQ; m).
L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une seule
valeur de xP appartenant à l'intervalle ]-∞
,-l] telle que la distance PQ soit égale à 1.
a) Faire apparaître approximativement sur le graphique
(proposé en annexe, page 7)
les points P et Q tels que xP
]-∞,-1] et PQ =
1.
b) PQ = | xP - xQ | les
deux points d'abscisses repectives xP et de xQ
appartiennent respectivement aux deux courbes (C) et (Γ)
et on la même ordonnée donc f(xP)
= g(xQ).
c)
La solution est en rouge et les autres sont en bleu.