BAC S session 2006 Polynésie

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EXERCICE 4 (6 points)
Partie A

On donne le tableau de variation d'une fonction f dérivable sur :

On définit la fonction F sur par

1. La fonction f est la dérivée de la fonction F sur et sur le tableau de variation on peut déduire le signe de f(x) selon les valeurs de x , F'(x) = f(x) 0 pour tout réel x donc F est croissante sur .
2. Montrer que 0 < F(3) < 4e-2.
D'après le tableau de variation de la fonction f pour tout réel x de ]2 ; + ∞ [ on a :

Partie B
1. a) Pour tout réel x on a :

f ' (x) est du signe de x(2 - x) car e-x >0 sur
Or x(2 - x) est bien un polynôme du second degré ayant deux racines 0 et 2 et donc le signe est négatif à l'extérieur de ses racines, donc les variations de f correspondent au signe de f '(x).
Les valeurs des extremums correspondent également : f(0) = 0 et f(2) = 4e-2.
b) Il suffit pour cela d'étudier le signe de f(x) - g(x)

Cette différence est du signe du polynôme (x - 1)(x + 1) car e-x >0 sur cequi donne comme tableau de signe :

Sur ]- ∞ ; - 1] ∪ [1 ; + ∞ [ la courbe (C) est au dessus de la courbe (Γ)
Sur [-1 ; 1 ] la courbe la courbe (C) est au dessous de la courbe (Γ)
2. Soit h la fonction définie sur par h(x) = (x2 - l)e-x.
a) Pour tout réel x on a :
H(x) = (-x2 -2x - l)e-x donc
H '(x) = (2x -2)e-x - (-x2 -2x - l)e-x = (-2x -2 + x2 + 2x + l)e-x = (x2 - l)e-x = h(x)
donc H est une primitive de la fonction h sur .
b) Sur l'intervalle [1 ; ] la courbe (C) est au dessus de la courbe (Γ) ( voir question 1 ) donc l'aire A() exprimée en unité d'aire est :

c)

3. On admet que, pour tout réel m strictement supérieur à 4e-2, la droite d'équation y = m coupe la courbe (C) au point P( xP; m) et la courbe (T) au point Q( xQ; m).
L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une seule valeur de xP appartenant à l'intervalle ]-∞ ,-l] telle que la distance PQ soit égale à 1.
a) Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe, page 7)
les points P et Q tels que xP ]-∞,-1] et PQ = 1.
b) PQ = | xP - xQ | les deux points d'abscisses repectives xP et de xQ appartiennent respectivement aux deux courbes (C) et (Γ) et on la même ordonnée donc f(xP) = g(xQ).
c)


La solution est en rouge et les autres sont en bleu.