Bac blanc en Maths série TGM

( D'après problème Bac sti session 2002)
exercice 1 (transformé ) STI GM-GC- GEN session 1996,
exercice 2 (transformé ) STI GEL-GET-GO session 2002)

Vous avez 4 heures pour faire ce devoir, ensuite vous allez pouvoir vous évaluez directement en cliquant sur le lien à la fin du sujet.

Problème

Partie A - Etude du signe de x3 - 1 + 2 ln x
Soit g la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : g(x) = x3 - 1 + 2 ln x
1) Calculer g'(x) et étudier son signe.
2) Dresser le tableau de variation de la fonction g. ( les limites ne sont pas demandées. )
3) Calculer g(1).
4) Déduire des questions précédentes le signe de g(x)
Partie B - Courbe représentative d'une fonction et calcul d'aire
On considère la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par :

On appelle C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal .
(
unités : 3 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées).
1) a ) Déterminer

b) Montrer que la droite d'équation D d'équation y = x -1 est asymptote oblique à C. Y a-t-il une autre asymptote à C ? Si oui donner son équation.
c) Calculer f '(x) et montrer que l'on peut écrire :

d) En utilisant les résultats de la partie A, déterminer le signe de f '(x) , puis dresser le tableau de variation de la fonction f.
e) Calculer les coordonnées du point d'intersection entre l'asymptote D et la courbe C. Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.
f) Tracer dans le repère la courbe C et la droite D.
2) a) Montrer que la fonction H définie par

est une primitive de de la fonction h définie sur ]0 ; + ∞[ par

b) Soit le domaine plan limité par D, C et les droites d'équation x = 1 et x = .
Hachurer ; calculer la valeur exacte de l'aire en cm², de puis en donner une valeur approchée au mm² près.

Exercice 1

On considère le polynôme de la variable réelle x :
P(x) = (2x + 1)(x² - 1)
Il peut s'écrire : P(x) = 2x3 + x² - 2x - 1
1) a) Résoudre dans l'équation P(x) = 0.
b) Résoudre dans l'inéquation P(x) < 0
2) Résoudre chacune des équations suivantes sur l'intervalle indiqué :
a) 2(ln t)3 + (ln t)² - 2 lnt - 1 = 0 sur ]0 ; + ∞[
( ln désigne la fonction logarithme népérien )
b) 2e3t + e2t - 2et - 1 = 0 sur

Exercice 2

La figure sera construite sur la copie et complétée au fil de l'exercice.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 3 cm.
1)a) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

b) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.
2) On considère les points A et B d'affixes respectives :

a) Ecrire zA et zB sous la forme algébrique.
b) Dans le repère , construire les points A et B à la règle et au compas. ( On laissera apparentes les lignes de construction )
3) On considère le point C d'affixe zC = izA.
a) Déterminer le module et un argument de zC et contruire le point C sur la figure réalisée à la question 2) b)
b) Montrer que le triangle OAC est rectangle et isocèle en O.
c) Déterminer l'ensemble () des points M du plan complexe dont l'affixe est telle que
|z - zB| = |z - izA| . Construire cet ensemble sur la même figure que les points A, B et C.


Correction et bilan