Baccalauréat ES Liban Session 2005

EXERCICE 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
Tableau d’informations n°1.

Le tableau d’informations n°1 ci-dessus fournit des informations sur une fonction
u définie et dérivable sur .
1. Établir un tableau des variations de la fonction u.
On considère maintenant les fonctions f et g définies par f (x) = ln[u(x)] et
g (x) = eu(x) où u désigne la fonction de la question précédente.
2. a. Une des deux affirmations suivantes est fausse, laquelle? Justifier en précisant
le bon ensemble de définition :
Affirmation 1 : « La fonction f est définie sur » ;
Affirmation 2 : « La fonction g est définie sur ».
b. Donner les variations des fonctions f et g . Énoncer le(s) théorème(s) utilisé(s).
c. Déterminer, en justifiant avec soin,

d. Résoudre dans l’équation g (x) = 1.
3. Voici d’autres informations relatives à la fonction u et à sa dérivée u'.
Tableau d’informations n°2.

Terminer chacune des deux phrases a. et b. par la réponse qui vous semble exacte, parmi celles proposées dans les cadres ci-dessous, en justifiant votre choix.
a. La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abscisse 2 est parallèle :
• à l’axe des abscisses
• à la droite d’équation y = x
• à la droite d’équation y = 3x
b. Le nombre f '(-2) :
• n’existe pas
• vaut -20
• vaut - 4/5
• vaut - 5/4
• vaut 5/4
Correction :
1.

2. a
L'affirmation 1 est fausse , en effet la fonction f est définie à condition que u(x) > 0 ce qui se produit si x ] - ∞ ; -1 [ ∪ ] 2 ; + ∞ [ donc l'ensemble de définition de la fonction f est : ] - ∞ ; -1 [ ∪ ] 2 ; + ∞ [
( voir ensemble de définition d'une fonction )
l'affirmation 2 est juste , la fonction exponentielle est définie sur .
2. b.
La fonction u est décroissante et strictement positive sur l'intervalle ] - ∞ ; -1 [
la fonction ln est croissante sur ]0 ; + ∞ [ on en déduit que la fonction f composée de la fonction u suivie de la fonction ln est décroissante sur ] - ∞ ; -1 [
La fonction u est croissante et strictement positive sur l'intervalle ] 2 ; + ∞ [
la fonction ln est croissante sur ]0 ; + ∞ [ on en déduit que la fonction f composée de la fonction u suivie de la fonction ln est croissante sur ] 2 ; + ∞ [ .

La fonction u est décroissante sur l'intervalle ] - ∞ ; 1/2]
la fonction exponentielle est croissante sur , on en déduit que la fonction g composée de la fonction u suivie de la fonction exponentielle est décroissante sur ] - ∞ ; 1/2]
La fonction u est croissante sur l'intervalle [1/2 ; + ∞ [
la fonction exponentielle est croissante sur , on en déduit que la fonction g composée de la fonction u suivie de la fonction exponentielle est croissante sur [1/2 ; + ∞ [
2. c.

2.d.

3.
a.
La fonction g est définie est dérivable sur , calculons le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2 :

le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2 de la courbe représentative de g est égal à 3, donc la tangente est parallèle à la droite d'équation y = 3x
b. La fonction f est dérivable sur l'ensemble des valeurs x telles que u(x) > 0 c'est à dire sur ] - ∞ ; -1 [ ∪ ] 2 ; + ∞ [ , elle est donc dérivable en -2 et on a pour tout réel de cet ensemble :