Baccalauréat ES Liban Session 2005

EXERCICE 4 (6 points)
Commun à tous les candidats
On propose aux élèves, Quentin, Nicolas et Lucien de répondre à un Q.C.M. comportant quatre questions dont voici le barème et les instructions :
Pour chaque question, une seule des quatre propositions A, B, C ou D est exacte.
L’élève recopie sur sa feuille une grille de réponses présentée comme ci-dessous :

Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point.
L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.
Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.
Les trois candidats répondent correctement à la première question.
1. Quentin choisit de ne pas répondre à la question n°2 et de donner une réponse
à chacune des deux dernières questions, en choisissant au hasard et de façon
équiprobable, l’une des quatre réponses proposées.
a. Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M. ?
b. Combien de grilles différentes peut-il remplir ?
c. Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ?
d. Quelle probabilité a-t-il de faire deux fautes ?
e. Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité.
En déduire l’espérance mathématique de la note obtenue.
2. Nicolas adopte la stratégie de donner une réponse à chacune des trois dernières
questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable l’une des
quatre réponses proposées.
a. Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M.?
b. Combien de grilles différentes peut-il remplir?
c. Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute?
d. Quelle probabilité a-t-il de faire trois fautes?
e. Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité.
En déduire l’espérance mathématique de la note obtenue.
3. Lucien choisit de ne répondre à aucune des trois dernières questions.
Classer les stratégies de Quentin, Nicolas et Lucien.
1. Correction :

a. Il peut obtenir les notes suivantes : 0 ; 1,5 ; 3.

b. Il peut remplir 16 grilles différentes ( voir l'arbre ci-dessus )
c. Il ne fait aucune faute que si les deux dernières réponses sont justes, c'est à dire
1/16.
d. Il fait deux fautes si les deux dernières réponses sont fausses, il y a 9 (= 3² ) grilles fausses. La probabilité de faire deux fautes est de 9/16.
e.

L ’espérance mathématique de la note obtenue est 0,75.
2.

a. Il peut obtenir les notes suivantes : 0 ; 1 ; 2,5 ; 4.

b. Il peut remplir 43 = 64 grilles différentes
c. la probabilité de ne faire aucune faute est de 1/64 .
d. la probabilité de faire trois fautes est de 27/64 ( 27 = 33)
e.
Il y a 3 possibilités de se tromper sur la deuxième réponse et de répondre juste aux autres questions. Sachant qu'on peut se tromper à la deuxième , à la troisième ou à la quatrième question, cela fait en tout 9 possibilités de faire une faute sur les trois dernières questions. La probabilité de faire une faute est de 9/64.


3. Stratégie de Lucien.
Classement des stratégies dans l'ordre décroissant des espérances mathématiques de note obtenue :
Stratégie de Lucien ; stratégie de Nicolas ; stratégie de Quentin.
La stratégie de Lucien est celle qui est susceptible de rapporter le plus de points.