Baccalauréat ES Polynésie Session 2005
EXERCICE 1 (6 points)
Commun à tous lea candidats
Une entreprise étudie la progression de ses bénéfices
ou pertes, évalues au premier
janvier de chaque année, depuis le 1er janvier 1999. Chaque
année est identifiée
par son rang.
À lannée 1999 est attribué le rang 0 et
à lannée 1999 + n le rang n ainsi 2001 a le
rang 2. Le tableau ci-dessous indique pour chaque rang
xi
dannée le bénéfice ou perte réalisé,
exprimé en milliers deuros et noté
yi
.
On cherche à approcher ces bénéfices par une
fonction.
Soit
f la fonction définie sur [0 ; +
∞[
par
On note C
f sa courbe représentative dans
un repère orthononoal
dunités
graphiques 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour 4
unités en ordonnées.
1. Ou considère que lapproximation des bénéfices
par
f est satisfaisante si la
somme des carrés des écarts entre les valeurs observées
yi et les valeurs approchées
f (
xi) est inférieure à 0,5.
Lapproximation par f est-elle satisfaisante? (Le résultat
obtenu à laide de la
calculatrice constituera une justification acceptable pour cette question.)
2. a. Déterminer la limite de
f en +
∞.
b. En déduire que C
f admet une asymptote
D dont on précisera léquation.
c. Étudier la position de C
f par rapport
à D.
3. a. Étudier les variations de
f sur [0 ; +
∞[
et dresser le tableau de variations.
b. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à
C
f au point dabscisse 0.
4. a. En utilisant le modèle que constitue la fonction
f
, en quelle année le
bénéfice évalué au 1er janvier dépassera-t-il
29 800 euros ?
b. Ce bénéfice atteindra-t-il 30 000 euros ? Justifier.
5. Construire C
f , en faisant apparaître tous
les éléments graphiques mis en évidence
dans les questions précédentes.
Correction :
1.
la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées
yi et les valeurs approchées
f (
xi)
est inférieure à 0,5 donc lapproximation par f
est satisfaisante.
2.a.
2.b.
La droite D d'équation y = 30 est asymptote à la courbe
C
f .
2.c.
donc la courbe C
f est en dessous ( strictement )
de la droite D
3.a.
La fonction
f est dérivable sur [0 ; +
∞[
( composée de fonctions dérivables ) et pour tout réel
x > 0 on a :
donc
f '(
x) > 0 donc
f est strictement croissante
sur [0 ; +
∞[
f(0) = -
e4 + 30
3.b.
Coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse 0 :
4. a.
8 - 2 ln 0,2
11,21
Il faut donc l'année de rang 12 c'est à dire en 2011
pour que bénéfice évalué au 1er janvier
dépasse 29 800 euros.
b. Le bénéfice n'atteindra jamais 30 000 euros, en effet
on a montrer que pour tout réel
x positif :
donc
f(
x) < 30 pour tout réel
x positif.
5.