Baccalauréat ES Polynésie Session 2005

Exercice 2 ( 5 points )
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
L’espace est muni d’un repère orthonormal

La figure représente un pavé droit ; le point O est le milieu de [AD].
Soit P le milieu du segment [EF].
1. a. Quel ensemble de points de l’espace a pour équation z = 2 ?
b. Déterminer une équation du plan (ABF).
c. En déduire un système d’équations qui caractérise la droite (EF).
2. a. Quelles sont les coordonnées des points A, G et P ?
b. Placer sur la figure le point Q de coordonnées (0 ; 0,5 ; 0).
c. Déterminer une équation cartésienne du plan (APQ).
3. a. Construire sur la figure les segments [PQ] et [AG].
b. Le point G appartient-il au plan (APQ) ? Justifier.
4. On construit la figure précédente à l’aide d’un logiciel de géométrie, puis on
demande au logiciel de représenter le point d’intersection des droites (AG) et
(PQ). Quelle pourrait être la réponse de l’ordinateur ?
Correction :
1.a.
L'ensemble des points M(x ; y ; z) de l'espace tel que z = 2 est le plan parallèle au plan (xOy) et passant par le point de coordonnées (0 ; 0 ; 2); c'est le plan (EFH)
1.b. Les points A, B et F ont tous la même abscisse 1,
donc M(x ; y ; z) (ABF) équivaut à x = 1
l'équation du plan (ABF) est x = 1
1.c. La droite (EF) est l'intersection des plans (ABF) et (EFH) .
M(x ; y ; z) (ABF) ∩ (EFH) équivaut à

2a.b

2.c. Déterminons une équation cartésienne du plan (APQ)
Une équation cartésienne du plan (APQ) est de la forme :
ax + by + cz + d = 0
a , b , c et d sont des réels tels que (a ; b ; c ) ≠ ( 0 ; 0 ; 0 )
A(1 ; 0 ; 0 ) , P( 1 ; 1/2 ; 2), Q(0 ; 1/2 ; 0) appartiennent à (APQ) donc leurs coordonnées vérifient l'équation de (APQ) soit :

( voir comment déterminer une équation cartésienne d'un plan dans l'espace )
3.a.b.
Pour savoir si le point G appartient au plan (APQ) il suffit de vérifier si ses coordonnées vérifient l'équation de (APQ).
G(- 1 ; 1 ; 2)
-2 + 4 - 2 - 2 = -2 ≠ 0 donc G (APQ).
4. Le point G n'appartient pas au plan (APQ) donc la droite (AG) n'est pas contenu dans le plan (APQ) et A et le seul point d'intersection de la droite (AG) et du plan (APQ) , si la droite (AG) doit couper une droite du plan (APQ) en un point ce ne peut être que le point A.
Les points A, P et Q ne sont pas alignés donc les droites (AG) et (PQ) n'ont pas de point commun ( point d'intersection ) . ( les deux droites sont en fait non coplanaires ).