Baccalaurat ES Amérique du Nord session 2005

EXERCICE 4 ( 6 points )
Commun à tous les candidats
On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ, dans un repère orthononnal,
d’une fonction f définie sur . La courbe Γ passe par les points A(0 ;2) et C(-2 ; 0)
et la droite (AB) est la tangente en A à Γ.
La tangente à Γ en son point D d’abscisse -1 est parallèle à l’axe des abscisses.



1. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction
dérivée f ' de f et une autre représente une primitive F de f sur .
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3

Déterminer la courbe associée à la fonction f ' et celle qui est associée à la fonction F.
Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix
2. a. Déterminer, à l’aide des renseignements fournis par l’énoncé, les valeurs
de f (0) et de f '(0).
b. On suppose que f (x) est de la forme f (x) = (x + K)eax où K et a sont des
constante réelles.
Calculer f '(x) puis traduire les renseignements trouvés à la question
précédente par un système d’équations d’inconnues K et a.
En déduire que f est définie par f (x) = (x + 2)e-x.
3. a. Montrer que la fonction.définie par φ(x) = (-x-3)e-x est une primitive
de f .
b. En déduire la valeur de l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface
hachurée. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du résultat.

Correction :

1.D'après la courbe représentative de la fonction f on voit que f est croissante sur ] - ∞ ; - 1] et décroissante sur [-1 ; + ∞ [ ce qui donne des indications sur le signe de f '(x)
La courbe n° 2 est la courbe représentative de la fonction dérivée de f en effet, la courbe 2 est au dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle [-1 ; + ∞ [ donc ce qui correpond au signe de f '(x) ( négatif ) sur cet intervalle, de même sur l'intervalle ] - ∞ ; - 1] la courbe 2 est au dessus de l'axe des abscisses ce qui correspond au signe de f '(x) ( positif ) sur l'intervalle] - ∞ ; - 1] .
La courbe n° 3 est la courbe représentative d'une primitive de la fonction f en effet , ses variations correspondent bien avec les signe de f(x) :
f(x) 0 et F croissante sur [-2 ; + ∞ [
f(x) 0 et F décroissante sur ]- ∞ ; - 2]

2. a.
La courbe Γ passe par le point A(0 ;2) donc f(0) = 2
La droite (AB) est tangente en A(2 ; 0) à la courbe Γ et son coefficient directeur est :

donc f '(0) = - 1

b. f(0) = 2 donc ( 0 + K)e0 = 2 d'où K = 2
f '(x) = (1 + 0)eax + (x + K)aeax
f '(x) = eax + (x + 2)aeax
f '(x) = (ax + 2a + 1)eax ( en mettant en facteur , mais ce n'est pas obligé )
f '(0) = -1 donc ( 2a + 1)e0 = -1 d'où 2a + 1 = -1 d'où a = -1
En reportant les valeurs de a et K on en déduit que f est définie par f (x) = (x + 2)e-x.

3. a. φ(x) = (-x-3)e-x
φ
' (x) = (-1)e-x + (-x-3)( - e-x) = (- 1 + x + 3)e-x = (x + 2)e-x = f(x)
donc la fonction définie par φ(x) = (-x-3)e-x est une primitive de f .
3. b.
sur l'intervalle [-2 ; 0] , f (x) = (x + 2)e-x > 0 donc la courbe représentative de f est au dessus de l'axe des abscisses et l'aire du domaine recherché est en unité d'aire :