Bac ES session 2006 Pondichery

(Commun à tous les candidats )
Exercice 3 : (4 points )
L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété algébrique fondamentale de la fonction logarithme népérien notée ln.
Propriété fondamentale :
Pour tous réels strictement positifs a et b , ln(ab) = ln a + ln b
Rappels
On rappelle les résultats de cours auxquels fera clairement réference pour justifier chacune de ses affirmations au cours des étapes de la démonstration ( on pourra en rappeler le numéro ) .
Théorème 1 : Sur un intervalle I, deux primitives d'une fonction diffèrent d'une constante.
Théorème 2 : Soit u une fonction définie dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction composée définie par x ln(u(x)) est dérivable sur I de dérivée la fonction x u'(x)/u(x)
Théorème 3 : La somme f de deux fonctions dérivables u et v sur un même intervalle I est dérivable sur I et f ' = u' + v'
Définition : ln 1 = 0
Enoncé de l'exercice
a est un réel constant strictement positif .
On considère les fonctions f et g, de variable x, définies sur ]0 ; + ∞ [ par : f(x) = ln(ax) et g(x) = ln a + ln x
Partie 1
Dans le cas ou a = 2, donner les fonctions dérivées de f : x ln(2x) et
g : x ln2 + ln x.
Partie 2 : Démonstration de la propriété
1. Calculer et comparer les dérivées de f et de g dans le cas général où a est un réel constant strictement positif.
2. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe un réel k tel que, pour tout x ]0 ; + ∞ [ ,
f(x) = g(x) + k ?
3. En posant x = 1, déterminer la valeur de k.
4. Justifier la propriété fondamentale de la fonction ln énoncée en début d'exercice.
Correction