bac es,session 2007,Rochambeau,Amérique du Nord
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relatif à l'exercice]
Exercice 3 : Commun à tous les candidats (5 points )
Dans tout l'exercice, le détail des calculs statistiques
n'est pas demandé.
Les résultats seront arrondis à 10-3 .
On rappelle que l' image d'un réel x par la fonction exponentielle
peut être notée exp( x ) = ex .
On veut étudier l'évolution des records de l'épreuve d'athlétisme
du 100 mètres masculin.
Pour cela, on cherche un ajustement des records pour en prévoir l'évolution.
On donne dans le tableau suivant certains records, établis depuis
1900.
1) étude d'un modèle affine
a) Construire le nuage de points M(
xi ;
yi
), avec
i compris entre 1 et 8, associé à cette série
statistique double. On prendra comme unité graphique 1 cm pour dix
ans en abscisse et 1 cm pour un dixième de seconde en ordonnées.
On commencera les graduations au point de coordonnées (0 ;
9)
.
b) Peut-on envisager un ajustement affine à court terme
? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme
sur les records futurs ?
2) étude d'un modèle exponentiel
Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe.
On effectue les changements de variables suivants : X =
e-0,00924x
et
Y = ln
y
On obtient le tableau suivant :
a) Donner une équation de la droite de régression de Y
en X obtenue par la méthode des moindres carrés.
b) En déduire
que l'on peut modéliser une expression de
y en fonction de
x sous la forme suivante :
y = exp(
ae-0,00924x +
b)
où
a et
b sont deux réels à déterminer.
c) A l'aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on
prévoir en 2010 ?
d) Calculer la limite en +
de la fonction
f définie sur
par l'expression suivante :
f (
x) = exp(0,154
e-0,00924x
+ 2,221)
e) Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quant aux
records du cent mètres masculin, à très long terme ?