bac es,session 2007,Rochambeau,Amérique du Nord

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Correction Exercice 4

PREMIèRE PARTIE
La courbe représentative de g passe par l'origine du repère soit g (0) = 0
- ln b = 0 soit ln b = 0 d'où b = 1.
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1/2, donc g '(1/2) = 0

soit g(x) = - x² + 2 x - ln(2 x + 1).

DEUXIèME PARTIE
1) Justifions :
- le signe de f '(x) :

f '(x) est du signe du polynôme 2x (-2x + 1) puisque 2x + 1 > 0 sur ]-1/2 ; + [, on retrouve du signe - à l'extérieur des racines 0 et 1/2 et du signe + à l'intérieur des racines, ce qui justifie par la même occasion les variations de f.
- les limites en -1/2 et +
tout d'abord en -1/2

en +

- justifions les images de 0 et 1/2

2) a) f (1) = -1 + 2 - ln 3 = - ln 3 + 1 < 0
La fonction f est dérivable et strictement décroissante sur l'intervalle [1/2 ; 1]
puisque f '(x) < 0 sur ]1/2 ; 1[ , de plus f(1/2) > 0 > f(1) donc l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [1/2 ; 1].
b) f (0,80) > 0 > f (0,81) donc 0,80 < < 0,81
3)

on en déduit le signe de f(x) sur ]-1/2 ; + [ :