bac sti gel,session 2007,Polynésie

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Problème 11 points
Partie A
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +[ par g(x) = x2 + 3x - 4 + 4 ln x.
1. Déterminer les limites de g en 0 et +.
2. Soit g' la dérivée de g. Montrer que :

3. Dresser le tableau de variations de g sur ]0 ; +[.
4. Calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) sur ]0 ; +[.
Partie B
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +[ par :

On appelle (C) la courbe de f dans un repère orthonormal (unité 3 cm).
1. a. Déterminer la limite de f en + .
b. Déterminer la limite de f en 0 ; on remarquera que :

Que peut-on en déduire ?
2. a. Montrer que pour tout x strictement positif :

b. En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations de f sur l'intervalle]0 ; +[.
c. Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +[.
3. On rappelle que pour tout x de l'intervalle ]0 ; +[,

Donner les solutions dans l'intervalle ]0 ; +[ de l'équation f(x) = x.
4. Tracer (C) et la droite d'équation y = x.
5. Interpréter graphiquement le résultat de la question 3.
Partie C
1. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par

est une primitive de f sur l'intervalle ]0 ; +[.
2. On considère dans le plan le domaine (D) délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = e.
a. Hachurer le domaine (D).
b. Calculer l'aire du domaine (D) en unités d'aires puis en cm2. On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au mm2 près.