bac es,session 2007,Polynésie

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Exercice4 (7points) Commun à tous les candidats


Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de x centaines d'appareils par la fonction f définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par :
f(x) = -2x + (e² - 1) ln x + 2
La courbe de la fonction f est donnée sur la figure ci-dessous :

1. Vérifier par le calcul que f(l) = 0 et f ( e² ) = 0.
2. A l'aide du graphique, déterminer approximativement :
a) le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ;
b) les valeurs de x pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul.
3. a) Déterminer la dérivée f ' de la fonction f sur l'intervalle ] 0 ; + [.
b) Etudier le signe de f ' (x) et en déduire le sens de variation de la fonction f
c) En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultai sera arrondi à l'unité).
4. Parmi les courbes données en annexe, une seule correspond à celle d'une primitive de f
Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de f(x))
5. En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure ci- dessus.
6. a) Démontrer que la fonction F définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par :
F(x) = x² + (3- e²) x + (e² - 1) x ln x est une primitive de f.
b) Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle où ce bénéfice est positif ou nul.
annexe ( les courbes ne sont pas exactement les mêmes que sur l'original mais j'ai essayé de faire correspondre le plus possible ...)
Courbe de F1 :

Courbe de F2 :

Courbe de F3 :