Bac ES session 2007

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Exercice 4 (6 points) Comniun à tous les candidats
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + ∞[ par :

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
1. a) Déterminer la limite de f en 0 ; en donner une interprétation graphique,
b) Déterminer la limite de f en + ∞ ; en donner une interprétation graphique.
2. a) Calculer f '(x) où f ' est la fonction dérivée de f puis étudier son signe.
b) En déduire le tableau de variation de la fonction f
On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de définition de f ainsi que la valeur exacte de f(e).
3. a) Déterminer une primitive de f sur ]0 ; + ∞[.
On pourra remarquer que f ( x) = 5 u'(x) × u(x) + 3 avec u(x) à préciser,
b) En déduire la valeur exacte de

sous la forme a( ln2)² + b avec a et b deux réels à déterminer,
4. a) Préciser le signe de f sur l'intervalle [2;4].
b) Donner une interprétation graphique de I.
5. On admet que le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique x milliers de pièces est égal à f(x). En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2000 et 4000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.