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Problème ( 11 points )
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( unité graphique 2 cm).
Soit la fonction f définie sur un intervalle I. On a déterminé expérimentalement des valeurs de f qui ont permis d'obtenir une partie de la courbe (C) , représentative de la fonction f , et sa tangente (T) au point O
( voir feuille annexe )
Partie A :
1. A l'aide du graphique, déterminer f(0) et f '(0).
2. On admet que l'expression de f(x) est de la forme f(x) = ax + b - ln(10x + 1) où a et b sont des réels.
a. Déterminer f '(x) en fonction de a.
b. En utilisant les résultats du 1., déterminer les réels a et b.
Partie B :
On admet désormais que la fonction f est définie sur l'intervalle I = ]-0,1 ; 10] par :
f(x) = 0,5x - ln(10x + 1)
1. Calculer

Que peut - on en déduire pour la courbe (C) représentant f ?
2. Calculer la fonction f ' dérivée de la fonction f. Montrer que f '(x) a le même signe que 5x - 9,5 sur l'intervalle I.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
4. Justifier que l'équation f(x) = 0 a dans l'intervalle [6 ; 10] une solution unique, que l'on notera . Déterminer un encadrement de d'amplitude 10-2.
5. Soit F la fonction définie sur l'intervalle I = ]-0,1 ; 10] par :
F(x) = 0,25 x² + x - (x + 0,1)ln(10x + 1).
a. Démontrer que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle I.
b. Calculer l'intégrale
.
On donnera sa valeur exacte.
c. On considère dans le repère défini initialement, l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que :

Utiliser la question précédente pour déterminer l'aire A en cm² de cette région. On en donnera la valeur décimale arrondie à 10-2 près.


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