Bac STI Gel, Get, Go session 2006 Métropole

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EXERCICE 2 : (4 points)
Pour la fête de l'école, une association propose une loterie selon le principe suivant :
- Le joueur mise 10 euros.
- Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arrêtant devant un repère. Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en euros : 10 ; 0 ; 5 ; 0. Tous les quartiers ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère.
La gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues.


Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de 15 €.
1. Étude du gain d'un joueur pour une mise de 10 euros.
On nomme G la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.
a) Reproduire et compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléatoire G selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues :

b) Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à sa mise est 50 %.
c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
d) Calculer la probabilité, notée p(G > 10), qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise.
e) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire G, puis donner son interprétation.
2. Étude du bénéfice de l'association pour une mise de m euros.
On suppose dans cette question que la mise du joueur est m euros.
On note B la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par l'association, c'est-à-dire la différence entre la mise qu'elle a encaissée et le gain éventuel qu'elle a reversé au joueur.
a) Exprimer en fonction de m l'espérance mathématique de la variable aléatoire B.
b) Déterminer m pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5 €.