Bac STI Gel, Get, Go session 2006 Métropole

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PROBLÈME (11 points)

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle (E): y ' + y = -x - l ;
y désigne une fonction de la variable x, définie et dérivable sur l'ensemble des réels .
1. a) Résoudre l'équation différentielle y' + y = 0.
b) Déterminer la solution h de cette équation différentielle y' + y = 0 prenant la
valeur 1/e en x = 1.
2. Déterminer le nombre réel a tel que la fonction u définie sur par u(x) = e-x + ax soit solution de l'équation différentielle (E).

Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire f
La fonction f est définie sur par : f(x) = e-x - x.
1. Déterminer les limites de la fonction f en + et -.
2. f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f
Calculer, pour tout réel x, f ' (x) puis en déduire le tableau de variations de la fonction f.
3. a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle [0 ; l].
b) Donner un encadrement de d'amplitude 0,01.
4. Préciser le signe de f(x) sur l'intervalle [0 ; l].

Partie C : Calcul de Faire d'une partie du plan
La représentation graphique Cf de la fonction f, dans le plan muni d'un repère est tracée sur la feuille jointe en annexe, qui est à rendre avec la copie.
1. Dans le demi-plan constitué des points d'abscisses positives, hachurer la partie D limitée par la courbe Cf, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
2. Calculer en fonction de la mesure, en unités d'aire, de l' aire de la partie D du plan.

Partie D : Étude d'une fonction g et représentation graphique
La fonction g est définie sur ]- ; [ par :

(où désigne le nombre réel trouvé à la partie B) et on note Cg sa courbe représentative dans un repère du plan.
1. a) Vérifier que, pour tout x ]- ; [

b) En déduire la limite de la fonction g en - et interpréter graphiquement cette limite.
2. En utilisant les résultats trouvés dans la partie B question 4, déterminer la limite de la fonction g en . Interpréter graphiquement cette limite.
3. a) La fonction g' désignant la dérivée de la fonction g, montrer que pour tout x ]- ; [ :

b) En déduire les variations de la fonction g sur ]- ; [ et dresser le tableau des variations de la fonction g.
4. Tracer la courbe représentative Cg de la fonction g dans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie