Problème : ( correction )
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +
[ par : g(x) = x² - 1 + ln x .
1.
on en déduit que la fonction g est croissante ( strictement
) sur l'intervalle ]0 ; +
[.
2. g(1) = 1² - 1 + ln 1 = 0 + 0 = 0
en utilisant le fait que la fonction g est strictement croissante
sur ]0 ; + [
et g(1) = 0 on en déduit le signe de g(x) pour x
appartenant à l'intervalle ]0 ; +
[ :
Partie B : Détermination de l'expression de la fonction
f
1.
2. La courbe C passe par le point de coordonnées (1
; 0) et qu'elle admet en ce point une tangente horizontale, f(1
) = 0 et f '(1) = 0 soit :
Partie C : Etude de la fonction f
1. a.
la droite d'équation x = 0 est asymptote à
la courbe C
b.
2. a.
b. f '( x) est du signe de g(x) sur
]0 ; + [ , on
en déduit les variations de f :
c. 0 est le minimum absolue de la fonction f sur son
ensemble de définition on f(x)
0 pour tout réel x appartenant à l'intervalle
]0 ; + [ .
3. On considère la droite D d'équation y
= x - 1.
a.
donc la droite d'équation y = x - 1 est asymptote
à la courbe C en + .
b.
Etudions le signe de f(x) - (x - 1) d'après
a. il est du signe de - ln x soit :
- ln x > 0 équivaut à ln x < 0
ou encore ln x < ln 1 soit x < 1 :
si x < 1 alors f(x) - (x - 1) >
0 donc sur l'intervalle ]0 ; 1 [ ,
la courbe C est au dessus de l'asymptote D.
si x > 1 alors f(x) - (x - 1) <
0 donc sur l'intervalle ]1 ; +
[ ,
la courbe C est au dessous de l'asymptote D.
Si x = 1, la courbe C et la droite D se coupent en un point
de coordonnées (1 ; 0)
c.
Partie D : Calcul d'aire
1. a.
b. une primitive de la fonction f sur l'intervalle
]0 ; + [ est
la fonction F définie par :
2. a. b.