Problème : (10 points )
Le plan P est muni d'un repère orthonormal
d'unité graphique 2 cm.
On s'interesse dans ce problème à une fonction f
définie sur l'intervalle ]0 ; +
[.
On note C la courbe représentative de la fonction f
dans le plan P.
On note ln la fonction logarithme népérien.
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +
[ par : g(x) = x² - 1 + ln x .
On désigne par g' la fonction dérivée
de la fonction g.
1. Calculer g'(x) pour tout réel x
appartenant à l'intervalle ]0 ; +
[.
En déduire le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle
]0 ; + [.
2. Calculer g(1) et en déduire l'étude du signe
de g(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0
; + [ .
Partie B : Détermination de l'expression de la fonction
f
On admet qu'il existe deux constantes réelles a
et b telles que, pour tout nombre réel x ppartenant
à ]0 ; +
[ ,
1. on désigne par f ' la fonction dérivée
de la fonction f.
Calculer f '(x) pour tout réel x appartenant
à l'intervalle ]0 ; +
[ .
2. Sachant que la courbe C passe par le point de coordonnées
(1 ; 0) et qu'elle admet en ce point une tangente horizontale, déterminer
les nombres a et b.
Partie C : Etude de la fonction f
On admet désormais que, pour tout nombre réel
x appartenant à l'intervalle ]0 ; +
[ ,
1. a. Déterminer la limite de la fonction f en
0 et donner une interprétation graphique de cette limite.
b. Déterminer la limite de la fonction f en
+ .
2. a. Vérifier que, pour tout réel x
appartenant à l'intervalle ]0 ; +
[ ,
b. Etablir le tableau de variation de la fonction f sur
l'intervalle ]0 ; +
[ .
c. En déduire le signe de f(x) pour
x appartenant à l'intervalle ]0 ; +
[ .
3. On considère la droite D d'équation y
= x - 1.
a. Justifier que la droite D est asymptote à la courbe
C.
b. Etudier les positions relatives de la courbe C et de la
droite D.
c. Tracer la droite D et la courbe C dans le plan P muni
du repère
Partie D : Calcul d'aire
On note A la mesure, exprimée en cm², de l'aire
de la partie du plan P comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses,
et les droites d'équation x = 1 et x = e.
1. On considère la fonction H définie sur l'intervalle
]0 ; + [ par
H(x) = (ln x)².
On désigne par H ' la fonction dérivée de la
fonction H.
a. Calculer H'(x) pour tout réel x appartenant
à l'intervalle ]0 ; +
[
b. En déduire une primitive de la fonction f sur
l'intervalle ]0 ; +
[
2. a. Calculer A.
b. Donner la valeur de A , arrondie au mm²