bac sti gel,get,go,session 2007,Métropole

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Problème : (10 points )
Le plan P est muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
On s'interesse dans ce problème à une fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + [.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan P.
On note ln la fonction logarithme népérien.
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par : g(x) = x² - 1 + ln x .
On désigne par g' la fonction dérivée de la fonction g.
1. Calculer g'(x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; + [.
En déduire le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; + [.
2. Calculer g(1) et en déduire l'étude du signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; + [ .
Partie B : Détermination de l'expression de la fonction f
On admet qu'il existe deux constantes réelles a et b telles que, pour tout nombre réel x ppartenant à ]0 ; + [ ,

1. on désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f.
Calculer f '(x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; + [ .
2. Sachant que la courbe C passe par le point de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle admet en ce point une tangente horizontale, déterminer les nombres a et b.
Partie C : Etude de la fonction f
On admet désormais que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; + [ ,

1. a.
Déterminer la limite de la fonction f en 0 et donner une interprétation graphique de cette limite.
b. Déterminer la limite de la fonction f en + .
2. a. Vérifier que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; + [ ,

b. Etablir le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + [ .
c. En déduire le signe de f(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; + [ .
3. On considère la droite D d'équation y = x - 1.
a. Justifier que la droite D est asymptote à la courbe C.
b. Etudier les positions relatives de la courbe C et de la droite D.
c. Tracer la droite D et la courbe C dans le plan P muni du repère
Partie D : Calcul d'aire
On note A la mesure, exprimée en cm², de l'aire de la partie du plan P comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 1 et x = e.
1. On considère la fonction H définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par H(x) = (ln x)².
On désigne par H ' la fonction dérivée de la fonction H.
a. Calculer H'(x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; + [
b. En déduire une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + [
2. a. Calculer A.
b. Donner la valeur de A , arrondie au mm²