problème bac génie mécanique

Partie A

Soit g la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : g(x) = -x + x ln x.
( où ln désigne le logarithme népérien ).
1. Résoudre dans l'intervalle ]0 ; + ∞[ l'équation g(x) = 0.
2. Résoudre dans l'intervalle ]0 ; + ∞[ l'inéquation g(x) > 0.
Partie B
Soit la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par :

On appelle (Γ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( unités : 2 cm ).
1. Déterminer

2. Montrer que f '(x) = g(x) . Utiliser les résultats de la partie A pour établir le tableau de variations de f.
3. Calculer . On fera apparaître le détail des calculs.
4. Soit A le point d'abscisse 1 de (Γ).
Déterminer une équation de la tangente en A à la courbe (Γ).
5. Tracer dans le repère la tangente T ainsi que la partie de la courbe (Γ) , relative à l'intervalle [0 ; 6] .
6. Soit la fonction F définie sur ]0 ; + ∞[ par :

a. Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; + ∞[.
b. Calculer en cm² l'aire du domaine limité dans le repère par la courbe (Γ), l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = e . On en donnera une valeur approchée à 10-2 près.


Correction
Partie A
1. g(x)=0
-x + x ln x = 0
x(-1 + ln x) = 0
-1 + ln x = 0

(x ne peut pas être égal à 0 puisque la fonction g est définie sur ]0 ; + ∞[ )
ln x = 1
ln x = ln e
x = e
S ={e }
2. g(x) > 0
x(-1 + ln x) > 0
x
est toujours strictement positif puisque la fonction est définie sur ]0 ; + ∞[.
-1 + ln x > 0
si et seulement si ln x > 1
si et seulement si ln x > ln e
si et seulement si x > e
Signe de x(-1 + ln x) :

S = ]e ; +∞[
Partie B
1. en +∞

en 0

2.
f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et pour tout réel x de ]0 ; + ∞[ on a :

en utilisant les résultats de la partie A on en déduit les variations de f


3.

4.

donc le point A d'abscisse 1 a pour ordonnée -3/4.

Le coeficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est f '(1) = -1, on en une l'équation de la tangente au point d'abscisse A :

5. Construction de la courbe (Γ) et de la tangente en A sur [0 ; 6]

6.a. F est une primitive de f sur ]0 ; + ∞[ si F est dérivable et F'(x) = f(x)
F est dérivable et

On retrouve bien F'(x) = f(x) donc F est bien une primitive de f sur ]0 ; + ∞[
b.

L'unité d'aire est de 4 cm²
sur l'intervalle [1 ; e], la courbe (Γ) est en dessous de l'axe des abscisses
en unités d'aire l'aire du domaine est :

en cm² :