Bac STI Génie mécanique option A et F, génie énergétique, génie civil

[Autres sujets][Correction de l'exercice][Cours relatif à l'exercice]Exercice 1 (5 points )
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ,unité graphique : 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument /2.
1. On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par : P(z) = z3 - 4z2 + 8z - 8.
a. Démontrer que pour tout nombre complexe z , P(z) = (z - 2)(z2 - 2z + 4).
b. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation P(z) = 0
2. On note A,B, C les points d'affixes respectives : a = 2 ; b = 1 + i ; c = 1 - i
a. Déterminer le module et un argument de a, b, c.
b. En déduire le centre du cercle et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
c. Placer les points A, B et C en laissant visibles les traits de construction.
d. Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange.
3. On pose d = a + b et on note D le point d'affixe d.
a. Construire le point D dans le repère
b. Démontrer que A est le milieu du segment [CD].
c. Ecrire d sous forme exponentielle.
d. Démontrer que OCD est un triangle rectangle.

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