exercice 1 bac sti GM B,C,D,E

1.
1. a. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : z² - 6z + 12 = 0.
1. b. Ecrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
2. Dans le plan muni d'un repère orthonormal , placer les points A, B et I d'affixes respectives :
.
2. a. Montrer que les points A, B et O sont sur un cercle de centre I dont on précisera le rayon.
2. b. Donner, en le justifiant, la nature du triangle OAB.
2. c. Placer le point C d'affixe zC = -2i. Montrer que les points A, C et I sont alignés.

Correction :
1. a.
= (-6)² - 4 × 1 × 12 = 36 - 48 = - 12 < 0
donc l'équation z² - 6z + 12 = 0 admet deux solutions complexes conjuguées :

1. b.
Soient 1 et 2 des arguments de z1 et z2 :

2.

2. a .

IA = IB = IO = 2
donc les points A, B et O appartiennent au cercle de centre I et de rayon 2.
2. b.
Première méthode :
OA = |zA| = 2
OB = |zB| = 2
donc le triangle AOB est isocèle en O
de plus :

or un triangle isocèle ayant un angle de mesure 60° ou /3 radians est un triangle équilatéral donc OAB est un triangle équilatéral.
Deuxième méthode :
OA = |zA| = 2
OB = |zB| = 2
AB = |zB - zA| = |3 - i - ( 3 + i)| = |-2i| = 2
OA = OB = AB donc le triangle AOB est un triangle équilatéral.

2. c.

donc les points A, C et I sont alignés.