baccalauréat sti gm B,C, D, E

Soit la fonction f numérique définie pour tout nombre réel par
f(x) = 2 + (2 - x)e2x.
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthogonal
( unité graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées )

1. Déterminer la limite de f en + .
2. a. Déterminer la limite de f en - ( on pourra poser X = 2x )
2. b. En déduire que la courbe admet une asymptote dont on donnera une équation.
2. c. Etudier les positions relatives de et .
3.a. Montrer que f '(x) = (3 - 2x)e2x, où f ' désigne la fonction dérivée de f.
4. a. Donner une équation de la tangente T à au point d'abscisse 0.
4. b. Tracer , T puis .
5. Soit G la fonction numérique définie pour tout nombre réel x par :

Montrer que G est une primitive de la fonction g définie pour tout nombre réel x par
g(x) = (2 - x)e2x .
6.a Hachurer la partie A du plan limitée par , la droite d'équation y = 2 et l'axe des ordonnées.
6.b. Calculer l'aire de A.
En donner la valeur exacte en unités d'aire.
Donner une valeur arrondie de cette aire, en cm², à 10-2 près.

Correction :
1.

2.a.
Première méthode :

Seconde méthode :
en posant X = 2x :

2.b. de la dernière limite calculée on en déduit que la courbe admet pour asymptote la droite d'équation y = 2 en -.
2.c.
f(x) - 2 = 2 + (2 - x)e2x - 2 = (2 - x)e2x .
f(x) - 2 est du signe de (2 - x) car e2x > 0.

- sur l'intervalle ]- ; 2 ] la courbe est au dessus de la droite .
- sur l'intervalle [2 ; + [ la courbe est au dessous de la droite .

3.a.
la fonction f est dérivable sur et pour tout réel x on a :
f '(x) = (-1)e2x + (2 - x)(2e2x) = (-1)e2x + (4 - 2x)e2x = (3 - 2x)e2x .
3.b.
f '(x) est du signe de (3 - 2x) car e2x > 0, on en déduit les variations de f sur :


4.a.
Coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 :
f'(0) = 3
Ordonnée du point d'abscisse 0 :
f(0) = 2 + 2 = 4
Equation de la tangente au point d'abscisse 0 :
y = f '(0)(x - 0) + f(0)
y = 3x + 4
4. b.- 6.a

5.
La fonction G est dérivable sur et pour tout réel x on a :

donc G est une primitive de la fonction g sur .
6.a voir 4.b
6.b.
L'intersection de la courbe avec la droite est le point de coordonnées (2 ; 2) voir question 2. a. , l'aire est donc délimitée par les droites d'équation x = 0 , x = 2, la courbe et la droite d'équation y = 2, sur l'intervalle [0 ; 2] la courbe représentative de f est au dessus de la droite d'équation y = 2. ( question 2. a ).
En unité d'aire :
l'unité d'aire est de 4 cm² ( 4 × 1)
donc la valeur exacte de A en cm² est e4 - 5 49,60 cm²