problème Bac STI GET,GEL 1996

On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par :

et on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal
( unité graphique : 5 cm )
Partie A : Etude de la fonction f.
1. Etudier les limites de f en 0 et en +
(pour cette dernière on pourra remarquer que :

2. a. Montrer que :

pour tout x appartenant à ]0 ; + [
b. En déduire le sens de variation de f .
c. Dresser le tableau de variation de f.

Partie B : Etude de quelques points particuliers de C
1. Déterminer l'abscisse x1 du point d'intersection M1 de C avec l'axe des abscisses.
2. Soit x2 = 1/ . On note M2 le point de C d'abscisse x2.
a. Déterminer une équation de la tangente 2 au point M2.
b. vérifier que 2 passe par O.
3. Indiquer l'abscisse x3 du point M3 de C tel que la tangente 3 à C en M3 soit parallèle à l'axe des abscisses.
4. Soit f'' la fonction dérivée de f' : calculer f''(x) pour
x appartenant à ]0 ; + [ .
Déterminer le réel x4 qui annule f''(x) .
On appelle M4 le point de C d'abscisse x4.
5. Vérifier que x1, x2, x3 , x4 sont quatre termes consécutifs d'une suite géométrique dont on indiquera la raison.
6. Placer les points M1, M2, M3 , M4 dans le repère
Construire les tangentes 2 et 3 puis la courbe C.
Partie C : Calcul d'une aire
1. On note g la fonction définie sur ]0 ; + [ par :

Calculer la dérivée de g. En déduire une primitive de f sur ]0 ; + [ ,après avoir remarqué que :

2. Hachurer le domaine plan limité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1/e et x = 2. Calculer la valeur exacte A de l'aire de ce domaine exprimée en cm².
Correction :
A 1.

on peut en déduire en passant que la droite d'équation x = 0 est asymptote à C.

On peut en déduire que la droite d'équation y = 0 est asymptote en +
2. a.
f est dérivable sur ]0 ; + [ et pour tout réel x de ]0 ; + [ on a :

2.b.
f '(x) est du signe de - ln x car x² > 0 sur ]0 ; + [
- lnx > 0 si et seulement si lnx < 0 si et seulement si 0 < x < 1
on en déduit que sur l'intervalle ]0 ; 1] , f'(x) 0 donc f croissante
sur l'intervalle [1 ; + [ , f'(x) 0 donc f décroissante .
2. c .


Partie B :
1. Le point M1 a pour ordonnées 0 donc son abscisse est solution de l'équation f(x) = 0 :

2. a.
coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x2 :

ordonnée du point au point d'abscisse x2 :

équation de la tangente 2 au point M2 :

b. c'est bien l'équation d'une droite passant par l'origine du repère.
3. la tangente au point M3 d'abscisse x3 est parallèle à l'axe des abscisses donc son coefficient directeur est nul donc f'(x3) = 0 on en déduit x3 = 1 et M3 ( 1 ; 1 )
4.


5.

donc x1, x2, x3 , x4 sont les quatre termes consécutifs d'une suite géométrique de raison
6.

Partie C :
1. g est dérivable sur ]0 ; + [ et pour tout réel x de ]0 ; + [ on a :


2.