bac L session 2006 Polynésie

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EXERCICE 2
1) Le graphique laisse penser qu'une suite arithmétique peut convenir car les points qui représentent la suite semblent alignés sur une droite.
2) a) La raison est négative, donc peut interpréter cela par une décroissance (300 poissons de moins chaque année ) de la population des poissons.
b) un = u0 + nr = 5150 - 300 n
c) 1990 + 14 ; u14 = u0 + 14r = 5150 - 14 × 300 = 950 .
l'effectif de la population prévue par ce modèle en 2004 est de 950 poissons.
3) Un deuxième scientifique n'est pas convaincu par ce modèle et propose pour cette population une évolution exponentielle. En effet, il remarque que :
II choisit alors de modéliser l'évolution du nombre de poissons par la suite géométrique (vn),
de raison q = 0,935 et de premier terme v0 =5150. Ainsi vn représente le nombre de poissons l'année (1990 + n).
a) (1 - q) × 100 = (1 - 0,935) × 100 = 6,5 % de diminution annuelle du nombre de poissons avec ce modèle.
b) vn = v0 × qn = 5150 × 0,935n .
c) Calculer v14 = 5150 × 0,93514 = 2010 .
4) a) Le plus pertinent est le modèle exponentielle en effet v14 = 2010 est beaucoup plus proche de 1980 que u14 = 950.
b) v30 = 5150 × 0,93530 = 686 ; v40 = 5150 × 0,93540 = 350.
La suite vn est une suite géométrique décroissante puisque 0 < 0,935 < 1 , il suffit donc de déterminer un entier naturel n tel que vn < 500 et vn-1 > 500.
A la calculatrice , on trouve : v35 < 500 et v34 > 500 donc n = 35.
A partir de l'année 2025 la population passera en dessous de 500 individus.