Bac L session 2006 Polynésie

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EXERCICE 1 (6 points)
Un jeu consiste à jeter un dé de forme tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
Ce dé est pipé de telle façon que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
On note pi, la probabilité d'obtenir le nombre i pour i {l;2;3;4}.
1. Exprimer pi, en fonction de i puis vérifier que la probabilité d'obtenir un nombre pair est 3/5.
2. On jette le dé. Si le nombre obtenu est pair, la somme reçue par le joueur est égale à sa mise augmentée de 10 %.
Si le nombre obtenu est impair, le joueur reçoit sa mise diminuée de 11 euros. La mise minimale est de 20 euros.
Un joueur décide de faire trois parties successives :
- il mise cent euros pour la première partie ;
- pour la seconde partie il mise la somme reçue à l'issue de la première partie ;
- pour la troisième partie il mise la somme reçue à l'issue de la seconde partie.
a) Montrer que, pour ce joueur, les montants possibles de la somme reçue à l'issue des trois parties sont, arrondies à un euro près, 133 euros, 110 euros, 109 euros, 108 euros, 88 euros, 87 euros, 86 euros et 67 euros.
b) Montrer que la probabilité de gagner 110 euros est égale à 18/125
c) Calculer la probabilité de chacun des quatre événements qui conduisent à une perte.
d) Montrer que la probabilité, pour ce joueur, de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.
Indication : pour la question 2, on pourra s'aider d'un arbre.