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EXERCICE 3 (5 points)

La reine Cléopâtre ordonna à son architecte, le célèbre Numérobis, de réaliser une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions devaient être telles que le carré de la hauteur soit égal à l'aire de chaque face triangulaire de cette pyramide

1) Compléter le dessin donné en annexe, représentant la pyramide en perspective cavalière ;
L est le centre du carré AOUT, I est le sommet de la pyramide, J le milieu du segment [OU].
On pose OJ = r ; IL = h et t = IJ/JL .
2)
Calculer :
a) La longueur JL en fonction de r.
b) La longueur IJ en fonction de r et de h.
c) En déduire la valeur de t en fonction de r et h.
d) L'aire du triangle OUI en fonction de r et h.

3) Montrer que l'exigence de Cléopâtre se traduit par la relation


4) a) Calculer t² - 1.
b) En déduire qu'alors l'égalité (1) peut s'écrire : t² -t - 1 = 0 (2).
5)a) Montrer que :

b) En déduire les solutions de l'équation (2).
c) Quel nom porte la seule solution possible ?