Baccalauréat s session 2004 exercice 1

On considère la suite (un) définie par :

pour tout entier naturel n.
1) Etudier la monotonie de la suite (un).
2) a) Démontrer que pour tout entier naturel n, un > n2.
2) b) Quelle est la limite de la suite (un).
3) Conjecturer une expression de un en fonction de n , puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

Correction :
1) un+1 - un = 2n + 3 > 0 pour tout entier naturel n donc la suite (un) est strictement croissante.
2) a) soit la propriété Pn : un > n2n est un entier naturel n.
Démontrons par récurrence que la propriété Pn : un > n2 est vrai pour tout entier naturel n.
u0 = 1 > 02 donc la propriété P0 est vraie.
supposons vraie la propriété Pn, c'est à dire supposons que
un > n2 on a donc
un + 2n + 3 > n2 + 2n + 3
un+1 > n2 + 2n + 3 = ( n2 + 2n + 1 ) + 2 = ( n + 1)2 + 2 > ( n + 1)2
donc la propriété Pn+1 reste encore vrai.
Par conséquent pour tout entier naturel n on a : un > n2
2) b)

3) Calculons les premiers termes de la suite (un) :
u0 = 1
u1 = u0 + 2×0 + 3 = 1 + 3 = 4
u2 = u1 + 2×1 + 3 = 4 + 2 + 3 = 9
u3 = u2 + 2×2 + 3 = 9 + 4 + 3 = 16
on peut donc conjecturer que un = (n + 1)2 pour tout entier naturel n.
démontrons cette propriété par récurrence :
u0 = 1 = (0 + 1)2 donc la propriété est vraie au rang 0.
supposons vraie la propriété vrai au rang n, c'est à dire supposons que
un = ( n+ 1)2 on a donc
un+1 = un + 2n + 3 = ( n+ 1)2 + 2n + 3
= ( n+ 1)2 + 2n + 2 + 1 = ( n+ 1)2 + 2(n + 1) + 1
= ( n+ 1+ 1)2 = ( n+ 2)2
donc la propriété reste encore vrai au rang n + 1
Par conséquent pour tout entier naturel n on a : un