Baccalauréat s session 2004 exercice 2

Dans l'ensemble des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument /2.
1) Montrer que ( 1 + i )6 = - 8i
2) On considère l'équation (E) z2 = - 8i
a)Déduire de 1) une solution de l'équation (E)
b) L'équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique.
3) Déduire également de 1) une solution de l'équation (E') : z3 = - 8i.
4) On considère le point A d'affixe 2i et la rotation r de centre O et d'angle 2/3.
a) Déterminer l'affixe b du point B image de A par r, ainsi que l'affixe c du point C, image de B par r.
b) Montrer que b et c sont solutions de (E')
5) a) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique 2cm ) , représenter les points A,B et C.
b) Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ?
c) Déterminer le centre de gravité de cette figure.

Correction :
1)
( 1 + i )6 = [(1 + i)2]3 = (1 +2i + i2)3 = (1 +2i - 1)3 = (2i)3 = 8i3 = 8i×i2 = - 8i
2) a)
z2 = - 8i
z2 = ( 1 + i )6
z = (1 + i)3 ou z = - (1 + i)3
z = (1 + i)3 est une solution de l'équation (E)
2) b)
z = 1 + 3i + 3i² + i3 = 1 +3i - 3 - i = -2 + 2i et z = 2 - 2i sont les deux solutions de l'équation (E).
3) z3 = - 8i
z3 = ( 1 + i )6 d'où
z = (1 + i)2 = 1 + 2i + i² = 2i est une solution de l'équation (E') .
4) a)
4) b)

b et c sont donc solution de l'équation (E' )
5) a)

5) b)
soit a l'affixe du point A :

AB = BC = AC donc le triangle ABC est un triangle équilatéral.
5) c) soit G le centre de gravité du triangle ABC ,

G est confondu avec le point O origine du repère.