bac S Amérique du Nord session 2005 - Homeomath

Exercice 2 ( 6 points )
Le graphique de l'annexe figurant page 6 sera complété et remis avec la copie.
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 2] par

1. Etudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; 2]
Montrer que si x [1 ; 2] , f(x) [1 ; 2]
2. (un) et (vn) sont deux suites définie sur par :
* u0 = 1 et un+1 = f( un)
* v0 = 2 et vn+1 = f( vn)
2.a. le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l'intervalle [0 ; 2]
construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (un) et (vn) en laissant apparant les traits de construction.
A partir de ce graphique que peut - on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (un) et (vn) ?
2.b. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :
* pour tout entier naturel n, 1 vn 2
* Pour tout entier naturel n, vn+1 vn
On admettra de la même façon que
* pour tout entier naturel n, 1 un 2
* Pour tout entier naturel n, un un+1
2. c. Montrer que pour tout entier naturel n,

En déduire que pour tout entier naturel n ,

2.d. Montrer que pour tout entier naturel n,

2.e. Montrer que les suites (un) et (vn) convergent vers un même réel .
Déterminer la valeur exacte de .


Correction :
1. fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; 2] comme quotient de deux fonctions dérivables et telle que la fonction dénominateur est non nulle sur cet intervalle.
Pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 2]

f ' (x) > 0 sur [0 ; 2] donc f strictement croissante sur [0 ; 2]
la fonction f étant strictement croissante sur [0 ; 2] , pour tout réel x tel que :

conclusion : si x [1 ; 2] alors f(x) [1 ; 2]
2.a.

au vu du graphique, on peut conjecturer que les suites (un) et (vn) semblent respectivement croissante et décroissante et qu'elles semblent toute deux converger vers la même valeur environ 1,6.
2.b.
montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 1 vn 2
* la propriété est vrai au rang 0 en effet : v0 = 2 donc 1 v0 2
* supposons la propriété vraie pour un certain rang n on a :
1 vn 2 , on sait d'après la question 1 que si x [1 ; 2] alors f(x) [1 ; 2] donc
f( vn ) [1 ; 2] par conséquent : vn+1 [1 ; 2] ce qui peut s'écrire encore :
1 vn+1 2 donc la propriété reste vrai au rang n +1.
Conclusion : pour tout entier naturel n, 1 vn 2

montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, vn+1 vn
* la propriété est vrai au rang 0 en effet : v0 = 2 et v1 = f(v0) = f(2) = 5/3 2
donc v1 v0
* supposons la propriété vraie pour un certain rang n on a :
vn+1 vn , on sait d'après la question 1 on sait que f est strictement croissante sur [1 ; 2]
on a donc f( vn+1 ) f( vn ) d'où vn+2 vn+1
donc la propriété reste vrai au rang n +1.
Conclusion : pour tout entier naturel n, vn+1 vn .
2.c.



on peut donc en déduire de proche en proche que pour tout entier naturel n
vn - un est du signe de v0 - u0 = 2 donc pour tout entier naturel n on a : vn - un 0

Pour tout entier naturel n on a :


2. d.

2.e

de plus on sait que les suites (un) et (vn) sont respectivement croissante et décroissante ( voir question 2.b ), que un vn . donc elle sont adjacentes .
ces suites sont des suites qui sont toujours convergentes et qui ont la même limite
La fonction f est continue sur [1 ; 2] et on sait que un+1 = f( un) par passage à la limite on a :
= f () c'est à dire solution de l'équation f(x) = x sur l'intervalle [1; 2]

pour calculer les termes de cette suite cliquez sur ce lien