Exercice 2 ( 6 points )
Le graphique de l'annexe figurant page
6 sera complété et remis avec la copie.
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 2]
par
1. Etudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; 2]
Montrer que si x
[1 ; 2] , f(x)
[1 ; 2]
2. (un) et (vn) sont deux suites
définie sur
par :
* u0 = 1 et un+1
= f( un)
* v0 = 2 et vn+1
= f( vn)
2.a. le graphique donné en annexe représente la fonction
f sur l'intervalle [0 ; 2]
construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de
chacune des suites (un) et (vn)
en laissant apparant les traits de construction.
A partir de ce graphique que peut - on conjecturer concernant le
sens de variation et la convergence des suites (un)
et (vn) ?
2.b. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence
que :
* pour tout entier naturel n, 1
vn
2
* Pour tout entier naturel n, vn+1
vn
On admettra de la même façon que
* pour tout entier naturel n, 1
un
2
* Pour tout entier naturel n, un
un+1
2. c. Montrer que pour tout entier naturel n,
En déduire que pour tout entier naturel n ,
2.d. Montrer que pour tout entier naturel n,
2.e. Montrer que les suites (un) et (vn)
convergent vers un même réel .
Déterminer la valeur exacte de .
Correction :
1. fonction f est dérivable sur l'intervalle [0
; 2] comme quotient de deux fonctions dérivables et telle
que la fonction dénominateur est non nulle sur cet intervalle.
Pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 2]
f ' (x) > 0 sur [0 ; 2] donc f strictement
croissante sur [0 ; 2]
la fonction f étant strictement croissante sur [0
; 2] , pour tout réel x tel que :
conclusion : si x [1
; 2] alors f(x)
[1 ; 2]
2.a.
au vu du graphique, on peut conjecturer que les suites (un)
et (vn) semblent respectivement croissante et
décroissante et qu'elles semblent toute deux converger vers
la même valeur environ 1,6.
2.b.
montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 1
vn
2
* la propriété est vrai au rang 0 en effet : v0
= 2 donc 1 v0
2
* supposons la propriété vraie pour un certain rang
n on a :
1 vn
2 , on sait d'après
la question 1 que si x [1
; 2] alors f(x)
[1 ; 2] donc
f( vn )
[1 ; 2] par conséquent : vn+1
[1
; 2] ce qui peut s'écrire encore :
1 vn+1
2 donc la propriété
reste vrai au rang n +1.
Conclusion : pour tout entier naturel n, 1
vn
2
montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, vn+1
vn
* la propriété est vrai au rang 0 en effet : v0
= 2 et v1 = f(v0) = f(2)
= 5/3 2
donc v1
v0
* supposons la propriété vraie pour un certain rang
n on a :
vn+1
vn , on sait d'après la question 1 on sait
que f est strictement croissante sur [1 ; 2]
on a donc f( vn+1 )
f( vn ) d'où vn+2
vn+1
donc la propriété reste vrai au rang n +1.
Conclusion : pour tout entier naturel n, vn+1
vn .
2.c.
on peut donc en déduire de proche en proche que pour tout
entier naturel n
vn - un est du signe
de v0 - u0 = 2 donc pour tout
entier naturel n on a : vn - un
0
Pour tout entier naturel n on a :
2. d.
2.e
de plus on sait que les suites (un) et (vn)
sont respectivement croissante et décroissante ( voir question
2.b ), que un
vn . donc elle sont adjacentes
.
ces suites sont des suites qui sont toujours convergentes et qui
ont la même limite
La fonction f est continue sur [1 ; 2] et on sait que un+1
= f( un) par passage à la limite
on a :
= f
() c'est à
dire solution
de l'équation f(x) = x sur l'intervalle
[1; 2]
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