bac S Amérique du Nord session 2005

Exercice 3 ( 5 points )
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + [ par f(x) = (x - 1)(2 - e-x)
Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2 cm )
1.a. Etudier la limite de f en +
1.b. Montrer que la droite d'équation y = 2x - 2 est asymptote à C
1.c. Etudier les positions relatives de C et
2.a. Calculer f '(x) et montrer que f '(x) = xe-x + 2(1 - e-x)
2.b. En déduire que pour tout réel x strictement positif , f '(x) > 0
2.c. Préciser la valeur de f '(0) , puis établir le tableau de variation de f
3. A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire, exprimée en cm², du domaine plan limité par la courbe C , la droite et les droite d'équation x = 1 et x = 3
4.a. Déterminer le point A ou la tangente est parallèle à
4.b. Calculer la distance, exprimée en cm du point A à la droite .


Correction :
1. a.

1. b .

on en déduit que la droite d'équation y = 2x - 2 est asymptote à la courbe représentative C de f.
1. c .

f(x) - (2x - 2) est du signe de 1 - x car e-x > 0 sur [0 ; + [

2. a.La fonction f est dérivable comme produit de fonction dérivable sur [0 ; + [ et pour tout réel x de l'intervalle [0 ; + [

2.b.

2.c.
f '(0) = 0 + 2(1 - 1) = 0
f(0) = (0 - 1)(2 - 1) = -1

3. Sur l'intervalle [1 ; 3] , la courbe C est en dessous de la droite , donc l'aire en unité d'aire du domaine demandée est :

ce qui donne en tenant compte de l'unité d'aire 4 cm² :

4. a. au point A la tangente est parallèle à , donc elle a le même coefficient directeur que soit x l'abscisse de A :

4.b.