Baccalaurat S (obligatoire) Nouvelle Calédonie mars 2005

EXERCICE 3 ( 6 points )

Le plan est rapporté à un repère orthonormal
Soit f la fonction définie sur ]-1 ; + [ par : f (x) = x2 -2,2x + 2,2ln(x +1)
1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative
de cette fonction dans la fenêtre -2 x 4, -5 y 5.
Reproduire sur la copie l’allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice.
2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :
a. Sur les variations de la fonction f ?
b. Sur le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0?
3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f
a. Étudier le sens de variation de la fonction f
b. Étudier les limites de la fonction f en -1 et en + , puis dresser le tableau
de variations de f .
c. Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions
de l’équation f (x) = 0.
d. Les résultats aux questions 3. a. et 3. c. confirment-ils les conjectures
émises à la question 2.?
4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de
la fonction f sur l’intervalle [-0,1 ; 0,2], de façon à visualiser les résultats de la
question 3..
a. Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y proposez-vous pourmettre en
évidence les résultats de la question 3. c. dans la fenêtre de votre calculatrice?
b. À l’aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée par défaut à
10-2 près de la plus grande solution de l’équation f (x) = 0.
5. Soit F la fonction définie sur ]-1 ; + [ par

a. Démontrer que F est une primitive de f sur ]-1 ; + [.
b. Interpréter graphiquement l’intégrale :

c. Calculer

et et exprimer le résultat sous la forme b3 +c2 (b et c réels).
Correction :
1.

2. a. Sur l’intervalle ]-1 ; 4] la fonction semble être croissante.
b. La courbe semble couper l'axe des abscisses en un seul point d'abscisse 0, on peut donc penser que la fonction s'annule seulement pour x = 0.
3. a.

f '(x) est du signe du trinôme x(x - 0,1) car 2 et x + 1 sont positif sur l'intervalle ]-1 ; + [ .
f est donc strictement croissante sur les intervalles ]-1 ; 0] et [0,1 ; + [
f est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 0,1]
3.b.

b. Extremum : f(0) = 0 ; f(0,1) = 0,01 - 0,22 + 2,2ln(1,1) = - 0,21 + 2,2ln(1,1)

c. la fonction f est strictement croissante sur [0,1 ; + [ de plus f(0,1) < 0 et

donc l'équation f(x) = 0 admet une solution unique sur [0,1 ; + [
sur l'intervalle ]-1 ; 0,1] f admet 0 comme maximum absolu, il est atteint seulement pour x = 0.
On peut donc en conclure que l'équation f(x) = 0 admet deux solutions , l'une qui est 0 et l'autre [0,1 ; + [ .
d. les résultats des questions 3.a. et 3.c. ne confirme absolument pas la conjecture faite à la question 2.
4. a. Il suffit de prendre ymin < - 0,21 + 2,2ln(1,1) ≈ -0,0003 soit ymin ≈ - 0,0004
et ymax ≈ 0,0001
4.b. On obtient f (0,15) < 0 < f (0,16) donc 0,15 < < 0,16.
L’approximation décimale par défaut à 10-2 de est 0,15.
5.a.
F est dérivable sur ]-1 ; + [ et pour tout réel x on a :

donc f est une primitive de la fonction F sur ]-1 ; + [
5.b.
Sur l'intervalle [0 ; ] , la fonction f est décroissante donc pour tout réel x de [0 ; ] on a :
0 x donc f(0) f(x) f( ) soit f (x) 0
donc l’intégrale représente l’opposé de l’aire en unité d'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de f , l’axe des abscisses et les deux droites d’équations x = 0 et x =
5.c.