Baccalaurat S (obligatoire) Nouvelle Calédonie mars 2005

EXERCICE 4 (5 points)
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
Étant donnés deux points distincts A0 et B0 d’une droite, on définit les points :
A1 milieu du segment [A0; B0] et B1 barycentre de {(A0, 1) ; (B0, 2)}.
Puis, pour tout entier naturel n, An+1 milieu du segment [An ; Bn] et Bn+1 barycentre
de {(An, 1) ; (Bn, 2)}.
1. Placer les points A1 , B1, A2 et B2 pour A0B0 = 12 cm.
Quelle conjecture peut-on faire sur les points An et Bn quand n devient très grand ?
2. On munit la droite (A0B0) du repère (A0 ; ) avec = 1/12
Soit un et vn les abscisses respectives des points An et Bn.
Justifier que pour tout entier naturel n strictement positif, on a :

Partie B
On considère les suites (un) et (vn) définies par u0 = 0 ; v0 = 12 ;

.
1. Démontrer que la suite (wn) définie par wn = vn - un est une suite géométrique
convergente et que tous ses termes sont positifs.
2. Montrer que la suite (un) est croissante puis que la suite (vn) est décroissante.
3. Déduire des deux questions précédentes que les suites (un) et (vn) sont convergentes
et ont la même limite.
4. On considère la suite (tn) définie par tn = 2un +3vn.
Montrer qu’elle est constante.
Partie C
À partir des résultats obtenus dans les parties A et B, préciser la position limite
des points An et Bn quand n tend vers plus l’infini.
Correction :
Partie A :
1.

On peut conjecturer que les points An et Bn se rapproche vers une position limite quand n n devient très grand.
2.

(voir barycentre de deux points )
Partie B :

1. Montrons que (wn) est une suite géométrique , pour cela il suffit de prouver que :
wn+1 = qwnq est un réel fixé.

donc la suite (wn) est une suite géométrique de raison 1/6 et de premier terme
w0 = v0 - u0 = 12 - 0 = 12.
Le premier terme de la suite est positif et sa raison est positif donc la suite est positive.
La raison de la suite étant de valeur absolue inférieure strictement à 1 ,
cette suite converge vers 0.
( voir suite géométrique )
2. Pour tout entier naturel n on a :

la suite (un) est donc croissante.
Pour tout entier naturel n on a :

la suite (vn) est donc décroissante.
3. Les suites (un) et (vn) sont par définition deux suite adjacentes puisque :

et que les suites (un) et (vn) sont respectivement croissante et décroissante donc les suites (un) et (vn) sont convergentes et de même limite.
4. La suite (tn) est donc constante si pour tout entier naturel n on a : tn+1 = tn
Pour tout entier naturel n on a :

donc la suite (tn) est constante.
Partie C :

La position limite des points An et Bn quand n tend vers plus l’infini est à 7,2 cm du point A0.
( pour conjecturer utiliser cette page )