Exercice 3 (5 points)
Une enquête est réalisée auprès des clients d'une
compagnie aérienne.
Elle révèle que 40% des clients utilisent la compagnie pour
des raisons professionnelles, que 35% des clients utilisent la compagnie
pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons.
Sur l'ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en première
classe et le reste en seconde classe.
En fait, 60% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première
classe, alors que seulement 20% des clients pour raison touristiques voyagent
en première classe.
On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque
client à la même probabilité d'être choisi.
On note :
A l'événement « le client interrogé voyage pour
des raisons professionnelles »
T l'événement « le client interrogé voyage pour
des raisons touristiques »
D l'événement « le client interrogé voyage pour
des raisons autres que professionnelles ou touristiques »
V l'événement « le client interrogé voyage en
première classe ».
Si E et F sont deux événements, on note P(E) la probabilité
que E soit réalisé, et PF (E) la probabilité
que E soit réalisé sachant que F est réalisé.
D'autre part, on notera
l'événement contraire de E .
1.Déterminer: P(A), P(T), P(V), PA(V) et PT(V).
2.a. Déterminer la probabilité que le client interrogé
voyage en première classe et pour des raisons professionnelles.
b. Déterminer la probabilité que le client interrogé
voyage en première classe et pour des raisons touristiques.
c. En déduire la probabilité que le client interrogé
voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles
ou touristiques.
3. Déterminer la probabilité que le client interrogé
voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première
classe.
4. Soit un entier n supérieur ou égal à 2. On
choisit n « clients de cette compagnie aérienne d'une
façon indépendante.
On note pn la probabilité qu'au moins un de ces
clients voyage en seconde classe.
a. Prouver que : pn = 1 - 0,4n .
b. Déterminer le plus petit entier n pour lequel pn
> 0,9999.<