Exercice 3 (5 points)
Un arbre pondéré pour résumer l'énoncé
:
A l'événement « le client interrogé voyage pour
des raisons professionnelles »
T l'événement « le client interrogé voyage pour
des raisons touristiques »
D l'événement « le client interrogé voyage pour
des raisons autres que professionnelles ou touristiques »
P(V) = 0,40 ; P()
= 0,60
F l'événement « le client interrogé voyage en
première classe ».
Si E et F sont deux événements, on note p(E) la probabilité
que E soit réalisé, et pF (E) la probabilité
que E soit réalisé sachant que F est réalisé.
D'autre part, on notera
l'événement contraire de E .
1. P(A) = 0,4 ; P(T) = 0,6 p(V) = 0,4 , PA(V) = 0,6 ;
PT(V) =0,2
2.a. P(A
V) = PA(V) ×
P(A) = 0,6 × 0,4 =
0,24
b. P(T V)
= PA(T) ×
P(A) = 0,2 × 0,35 =
0,07
c. P(A V)
+ P(T V) + P(D
V) = P(V)
d'où P(D
V) = P(V) - P(A
V) - P(T V) = 0,4
- 0,24 - 0,07 = 0,09
La probabilité que le client interrogé voyage en première
classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques est
de 0,09 .
3. La probabilité que le client interrogé voyage pour
des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe
est de 0,6 :
PV(A) = P(A
V)/P(V) = 0,24/0,4 = 0,6.
4. a. Notons Vn l'évènement : " au
moins un de ces n clients voyage en seconde classe "
alors n
représente l'évènement : " aucun des n
clients voyage en seconde classe "
On choisit n « clients de cette compagnie aérienne d'une
façon indépendante donc :
P( n)
= (P())n
= (1- 0,6)n = 0,4n .
pn = P( Vn) = 1 - P( n)
= 1 - 0,4n .
b.
le plus petit entier n pour lequel pn > 0,9999 est
donc n = 11