BAC S Pondichery session 2006

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Exercice 2 : ( 5 points )
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct . on prendra pour unité graphique 5 cm. On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n ,

On note An le point du plan d'affixe zn.
1. Calculer z1 ,z2, z3 , z4
Placer les points A0, A1 ,A2, A3 et A4 sur la figure.
2. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn|
Justifier que la suite ( un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n ,

3. A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
4. a. Etablir que pour tout entier naturel n,

En déduire la nature du triangle OAnAn+1.
b. Pour tout entier naturel n , on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2...An-1An .
On a ainsi : ln = A0A1 + A1A2 + ... + An-1An
Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite ( ln ) ?
Correction.