BAC S Pondichery session 2006

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Exercice 3 : (4 points )
L'espace est muni d'un repère orthonormal .
Partie A ( cette partie constitue une restitution organisée de connaissances )
Soit a, b , c et d des réels tels que (a , b, c) ≠ (0 , 0 , 0 ).
Soit P le plan d'équation ax + by + cz + d = 0.
On considère le point I de coordonnées (xI , yI, zI ) et de vecteur de coordonnées ( a , b , c)
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à :

1. Soit la droite passant par I et orthogonale au plan P.
Déterminer en fonction de a , b, c , d , xI , yI, zI , un système d'équations paramétriques de .
2. On note H le point d'intersection de et P.
a. Justifier qu'il existe un réel k tel que = k .
b. Déterminer l'expression de k en fonction de a , b, c , d , xI , yI, zI .
c. En déduire que

Partie B
Le plan Q d'équation x - y + z - 11 = 0 est tangent à une sphère S de centre le point de coordonnées (1 ; -1 ; 3).
1. Déterminer le rayon de la sphère S.
2. Déterminer un système d'équations paramétriques de droite passant par et orthogonale au plan Q.
3. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère S et du plan Q.
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