Exercice 3 : (4 points )
L'espace est muni d'un repère orthonormal
.
Partie A ( cette partie constitue une restitution organisée
de connaissances )
Soit a, b , c et d des réels tels que (a
, b, c) ≠
(0 , 0 , 0 ).
Soit P le plan d'équation ax + by + cz + d = 0.
On considère le point I de coordonnées (xI
, yI, zI ) et de vecteur de
coordonnées ( a , b , c)
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de
I au plan P est égale à :
1. Soit la droite
passant par I et orthogonale au plan P.
Déterminer en fonction de a , b, c , d , xI
, yI, zI , un système d'équations
paramétriques de .
2. On note H le point d'intersection de
et P.
a. Justifier qu'il existe un réel k tel que =
k .
b. Déterminer l'expression de k en fonction de a
, b, c , d , xI , yI, zI .
c. En déduire que
Partie B
Le plan Q d'équation x - y + z - 11 = 0 est tangent
à une sphère S de centre le point
de coordonnées (1 ; -1 ; 3).
1. Déterminer le rayon de la sphère S.
2. Déterminer un système d'équations
paramétriques de droite
passant par
et orthogonale au plan Q.
3. En déduire les coordonnées du point d'intersection
de la sphère S et du plan Q.
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