BAC S Pondichery session 2006

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Exercice 4 : (7 points )
Les parties A et B sont indépendantes.
un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.
Partie A
En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction f du t (exprimé en années à partir de l'origine 2000).
D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement positive sur [0 ; + [ , et satisfait l'équation différentielle :

1. Démontrer l'équivalence suivante :
Une fonction f, dérivable, strictement positive sur [0 ; + [ , vérifie, pour tout t de [0 ; + [ ,

si et seulement si la fonction g = ln ( f ) vérifie , pour tout t de [0 ; + [ ,

2. Donner la solution générale de l'équation différentielle :

3. En déduire qu'il existe un réel C tel que , pour tout t de [0 ; + [ :

( la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle x ex )
4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par :

a. Déterminer la limite de la fonction f en +
b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; + [
c. Résoudre dans [0 ; + [ l'inéquation f(t) < 0,02
Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
Partie B
En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : " la population testée comporte 50 % d'animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99 % des cas ; si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas ".
On note M l'évènement " la animal est malade ", l'évenement contraire et T l'évènement " le test est positif ".
1. Déterminer P(M) , PM(T) , P(T).
2. En déduire P(T)
3. Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive, c'est à dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?