BAC S Pondichery session 2006

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Exercice 2 : ( 5 points )
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct . on prendra 5 cm pour unité graphique.
Soit f la transformation qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par :

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre ( d'affixe ) , le rapport k et l'angle .
2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n ,on pose An+1 = f ( An ).
a. Déterminer les affixes des points A1 ,A2, et A3 puis placer les points A0, A1 ,A2, A3 .
b. Pour tout entier naturel n, on pose un = An . Justifier que la suite ( un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n ,

c. A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
3. a. Quelle est la nature du triangle A0A1 ?
En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle AnAn+1.
b. Pour tout entier naturel n , on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2...An-1An .
On a ainsi : ln = A0A1 + A1A2 + ... + An-1An
Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite ( ln ) ?
Correction.