Bac S session 2006 Liban

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EXERCICE 2 (5 points)
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct . On prendra 2 cm pour unité graphique. Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe 2.
1. a) Déterminer l'affixe du point B1 image de B par l'homothétie de centre A et de rapport .
b) Déterminer l'affixe du point B' image de B1 par la rotation de centre A et d'angle /4
Placer les points A, B et B'.
2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M'd'affixe z'tel que z' = (l + i)z + 1.
a) Montrer que B a pour image B' par f.
b) Montrer que A est le seul point invariant par f
c) Etablir que pour tout nombre complexe z distinct de i,

Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d'angles.
En déduire une méthode de construction de M ' à partir de M, pour M distinct de A.
3. a) Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l'ensemble 1 des points M du plan dont l'affixe z vérifie |z - 2| =
b) Démontrer que z' - 3 - 2i = (l + i )(z - 2).
En déduire que si le point M appartient à 1 alors son image M' par f appartient à un cercle 2 dont on précisera le centre et le rayon.
c) Tracer 1 et 2 sur la même figure que A, B et B' .