Bac S session 2006 Liban

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EXERCICE 4 (3 points)
La durée de vie d'un robot, exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre , avec X>0. Ainsi, la probabilité qu'un robot tombe en panne avant l'instant t est égale à


1. Déterminer , arrondi à 10-2 près, pour que la probabilité p(X> 6) soit égale à 0,3.
Pour la suite de l'exercice, on prendra = 0,2.
2. À quel instant t ,à un mois près, la probabilité qu'un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5 ?
3. Montrer que la probabilité qu'un robot n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e-0,4.
4. Sachant qu'un robot n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10-2 près, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ?
5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années.