Bac S session 2006 Rochambeau ( EU)

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EXERCICE 4 (7 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormal .
On s'intéresse aux fonctions f dérivables sur [0, + [vérifiant les conditions :
(1) : pour tout réel x appartenant à [0, + [ f ' (x) = 4 - (f(x))2
(2) : f(0) = 0
On admet qu'il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2).
Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.
L'annexe, sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

Partie A. Étude d'une suite
Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f on utilise la méthode itérative d'Euler avec un pas égal à 0,2.
On obtient ainsi une suite de points notés (Mn), d'abscisse xn et d'ordonnée yn telles que :
x0 = 0 et pour tout entier naturel n, xn+1 = xn + 0,2
y0 = 0 et pour tout entier naturel n, yn+1 = -0,2yn² + yn + 0,8.
1. a) Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l'annexe. Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10-4 près.
b) Placer, sur le graphique donné en annexe , les points Mn pour n entier naturel inférieur ou égal à 7.
c) D'après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite (yn) et sur sa convergence ?
2. a) Pour x réel, on pose p(x) = - 0,2 x² + x + 0,8 .
Montrer que si x [0; 2] alors p(x) [0; 2].
b) Montrer que pour tout entier naturel n, 0 yn 2.
c) Étudier le sens de variation de la suite (yn).
d) La suite (yn) est-elle convergente ?

Partie B. Étude d'une fonction

Soit g la fonction définie sur [0, + [ par

et (Cg) sa courbe représentative.
1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2).
2. a) Montrer que (Cg) admet une asymptote dont on donnera une équation.
b) Étudier les variations de g sur [0, + [.
3. Déterminer l'abscisse a du point d'intersection de et de la tangente à (Cg) à l'origine.
4. Tracer, dans le repère de l'annexe, la courbe (Cg) et les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B
Annexe