correction bac s exercice 1 barycentre

1. Le point G-1 est le barycentre du système {(A, 2) , (B, -1) , (C, 1)}

Le point G1est le barycentre du système {(A, 2) , (B, 1) , (C, -1)}

On en déduit donc que A est le milieu du segment [G-1G1]

On utilise les relations vectorielles trouvées précédemment.
2. a

2.b.
La fonction est définie et dérivable sur l' intervalle [-1 ; 1], de plus elle ne s'annule pas sur [-1 ; 1].

La fonction est dérivable sur l' intervalle [-1 ; 1] on peut donc en conclure que f est dérivable sur l' intervalle [-1 ; 1].

f est décroissante sur [-1 ; 1]

2. c.

Lorsque k décrit [-1;1], f(k) décrit l'intervalle [-½; ½]

Les vecteurs sont colinéaires donc le point

Gk appartient à la droite (BC) et

Donc l'ensemble des points Gk quand k décrit [-1;1] est le segment [G-1;G1]

3.
G-1 et G1 sont les barycentre respectifs des systèmes :

{(A, 2) , (B, -1) , (C, 1)} et

{(A, 2) , (B, 1) , (C, -1)} donc :


E est donc le plan médiateur du segment [G-1G1]

4.

F est donc la sphère de centre G1 et de rayon AI

( ou de rayon G1B )
5.a.


Pour que la sphère et le plan soit sécants il faut que la distance du centre G1 de la sphère au plan soit inférieure au rayon de la sphère.

Le plan E est le plan médiateur du segment [G-1G1] par conséquent le vecteur

est un vecteur normal du plan E par conséquent son équation est de la forme z = p.

Le point A(0,0,2) milieu de [G-1G1] appartient au plan E donc ses coordonnées vérifient l'équation de E . Donc z = 2 est une équation du plan E.

A(0 ;0; 2) est le projeté orthogonal de G1 (0 ; 0; 0) sur le plan E.

AG1 est donc la distance du point G1 au plan E, AG1= 2

Le rayon AI de la sphère F est bien supérieur (strictement ) à AG1

Par conséquent le plan et la sphère sont bien sécants.

et leur intersection est un cercle de centre A.
5.b.

Déterminons le rayon du cercle intersection du plan E et de la sphère F.

Soit P un point du cercle :

La droite (AG1) est perpendiculaire au plan E, elle est donc orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier (AG1) et (AP) sont orthogonales et plus précisément perpendiculaires puisqu'elles sont sécantes.

Le triangle AG1P est par conséquent rectangle en A et d'après le théorème de Pythagore : G1P² = AP² + AG1² .

AP² = G1P²- AG1² = 6 - 4 = 2 , d'ou