Bac SMS session 2006 Polynésie

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PROBLEME (12 points)
Partie A - Etude d'une fonction
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1850 ; 2020] par : f(t) = 250 + 25 e0,01t - 18,5.
1) Calculer f '(f) où f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [1850 ;2020],
2) a) Justifier que f '(t) est positif sur l'intervalle [1850 ; 2020].
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f . On précisera les valeurs exactes de f (1850) et de f (2020).
3) Recopier sur la copie puis compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à l'entier le plus proche).

4) On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
Tracer la courbe C dans ce repère.
On prendra comme unités graphiques : 1 cm pour 10 unités sur l'axe des abscisses,
1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées. De plus, on graduera l'axe des abscisses à partir de 1850 et l'axe des ordonnées à partir de 270.
Partie B - Teneur en dioxyde de carbone contenu dans l'atmosphère
Source ; Laboratoire CNRS de Glaciologie, Université Joseph Fourier, Grenoble
Une étude statistique a montré que la teneur en dioxyde de carbone (CO2) contenu dans l'atmosphère de 1850 à nos jours, exprimée en parties par millions (ppm), peut être modélisée par la formule suivante : f (t) = 250 + 25e0,01t - 18,5. où t représente l'année et f (t) la teneur en dioxyde de carbone. On supposera que ce modèle reste valable jusqu'en 2020.
1) On fera apparaître sur le graphique, de la question A)4), les traits de construction utilisés pour répondre aux questions suivantes et l'on donnera les résultats à l'unité près.
Estimer à l'aide du graphique :
a) la teneur en dioxyde de carbone (CO2) qu'on peut prévoir en 2010,
b) l'année à partir de laquelle la teneur en dioxyde de carbone (CO2) a dépassé 350 ppm.
2) Déterminer le résultat de la question l b) par le calcul, en résolvant l'équation suivante :
250 + 25e0,01t - 18,5 = 350.