bac STL session 2006 Polynésie

EXERCICE 2 (11 points)
Partie A
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 3] par f(x) = 6-5xe-2x+2 .
On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthogonal
d'unités graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
1. a) Montrer que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 3], f '(x) = 5(2x - l)e-2x+2.
b) Etudier le signe de f '(x) sur l'intervalle [0 ; 3].
c) Déterminer les valeurs exactes de f(0), f ( 0,5) , f(3) et dresser le tableau de variation de f
2. a) Donner les valeurs arrondies au dixième de f(x)pour les valeurs suivantes de x :
0,25;0,5;l; 1,5; 2; 2,5 ; 3.
b) Calculer les coefficients directeurs des tangentes à C aux points d'abscisses : x1= 0,75 ,
x
2 = 1 et x3 = 1,25. (On donnera des valeurs approchées à 10-2 près). Pour laquelle de ces abscisses, le coefficient directeur est-il le plus grand ?
3. a) Tracer les tangentes à la courbe C aux points d'abscisses x1 , x2 et x3
b) Tracer la courbe C.
Partie B
On considère que la courbe C donne un modèle de la variation de la température de l'eau en
fonction de la profondeur près de l'estuaire d'un grand fleuve un jour d'hiver.
La température est exprimée en degrés Celsius et la profondeur en centaines de mètres.
1. A quelle profondeur la température de l'eau est-elle minimale ?
2. Déterminer graphiquement pour quelles profondeurs la température est comprise entre 0°C et 4°C. Faire figurer les constructions utiles.
3. En utilisant la question A.2., indiquer au voisinage de quelle profondeur, entre 50 m et 300 m, la température de l'eau augmente le plus rapidement.
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