Bac STT Gestion session 2006

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PROBLÈME (9 points)
PARTIE A
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
La courbe (C), donnée en annexe 2, est la représentation graphique de la fonction f définie sur ]0;+[ par: f(x) = -x² + 10x - 9 - 8 lnx.
1. Déterminer la limite de f en 0. Que peut-on en déduire concernant la courbe ?
2. En écrivant f(x) sous la forme

déterminer la limite de f en +
3. Démontrer que, pour tout réel x de ]0;+[,

f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f.
4. Étudier le signe de f '(x) suivant les valeurs de x dans l'intervalle ]0;+[.
5. Dresser le tableau de variation de f
6. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (les résultats seront arrondis à 10-4 ).

b. L'équation f(x) = 0 admet deux solutions, 1 et dans ]0;+[.
A l'aide de la question précédente, donner sans justification un encadrement à 10-2 près de .
c. Placer sur le graphique de l'annexe 2.
7. Soit F la fonction définie sur ]0;+[ par :

Démontrer que F est une primitive de f sur ]0;+[.
8. Hachurer la partie (P) du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe (C) et les droites d'équation x = 3 et x = 6, puis donner la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de (P).
PARTIE B - Application économique.
Une entreprise doit produire entre 10 et 70 pièces par jour.
On admet que si x est la production journalière en dizaines de pièces alors le bénéfice réalisé en milliers d'euros est f (x), où f est la fonction étudiée dans les deux premières parties avec x [1 ; 7].
1. Déterminer à l'aide de la courbe (C) de l'annexe 2, la quantité de pièces fabriquées par jour, à partir de laquelle l'entreprise commence à travailler à perte.
Donner une valeur approchée de cette valeur à 1 près.
2. Par lecture graphique, indiquer la quantité de pièces que l'entreprise doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal.
3. On admet que lorsque l'entreprise produit entre 30 et 60 pièces par jour sur une certaine période, le bénéfice journalier moyen en milliers d'euros est donné par :

A l'aide de la partie A, déterminer à 1 € près ce bénéfice journalier moyen.
annexe 2