Exercice 1 ( 10 points )
Un distributeur d'accès à internet a mené une
enquête auprès de ses abonnés pour étudier,
en fonction de leur âge, la durée moyenne de connexion
en fin de semaine.
On note la fonction représentant la durée moyenne de
connexion (exprimée en minutes) en fonction de l'âge
(exprimé en années).
La courbe donnée en fin d'exercice est la représentation
graphique de la fonction .
Partie A : étude graphique
1. a) Résoudre graphiquement l'équation f
(x) = 450.
On fera apparaître les traits de construction pour justifier
la réponse.
b) Que signifie pour le distributeur d'accès à
Internet la réponse à la question 1.a. ?
2. a) Résoudre graphiquement l'inéquation f
(x) 180
. On ne demande pas de justification.
b) Que signifie pour le distributeur d'accès à
Internet la réponse à la question 2.a. ?
3. Quelle est la tranche d'âge des internautes qui se
connectent au moins 6 heures ?
On ne demande pas de justification.
Partie B : étude de la fonction
On admet que la fonction est définie sur l'intervalle [5 ;
75] par :
f (x) = 0,016x3 - 1,92x2
+ 57,6x + 50
1. a) Calculer f '(x) pour appartenant à
l'intervalle [5 ; 75], où f ' désigne la fonction
dérivée de la fonction .
b) Vérifier, en développant et en détaillant
les calculs, que : pour tout x de l'intervalle [5 ; 75],
f ' (x) = 0,048(x - 20)(x - 60)
c) Etudier le signe de f '(x) pour tout appartenant
x à l'intervalle [5 ; 75].
d) Etablir le tableau de variations de la fonction f
sur l'intervalle [5 ; 75].
2. En déduire :
a) la durée maximale de connexion (en heures et en minutes)
ainsi que l'âge des internautes qui se connectent le plus longtemps.
b) la durée minimale de connexion (en minutes) ainsi
que l'âge des internautes qui se connectent le moins longtemps.