Le mobilier d'une bibliothèque
municipale doit être changé pour contenir au moins 4400
livres de petit format et 2600 livres de grand format.
Un premier fournisseur propose des meubles de type A pouvant contenir
110 livres de petit format et 100 livres de grand format pour un prix
de 400 euros.
Un deuxième fournisseur propose des meubles de type B pouvant
contenir 220 livres de petit format et 100 livres de grand format
pour un prix de 600 euros.
Par ailleurs le responsable de la bibliothèque a pour consigne de ne passer aucune commande supérieure à 9600 euros chez un même fournisseur.
1. Soit x le nombre de meubles de type A et y
le nombre de meubles de type B.
Traduire les contraintes que doit respecter le bibliothécaire
sous forme d'un système d'inéquations portant sur
x et y.
2. A tout couple (x, y) de nombres réels,
on associe le point M de coordonnées (x, y)
dans un repère orthonormal .
(On choisira un centimètre pour deux unités).
2.a. Montrer que le système obtenu au 1) est équivalent
à
2.b. Déterminer graphiquement l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système précédent. (On hachurera la zone qui ne convient pas).
3.a. Exprimer en fonction de x et y la dépense d occasionnée par l'achat de x meubles du type A et y meubles du type B.
3.b. Tracer dans le repère précédent la droite correspondant à une dépense de 15 600 euros.
3.c. Déterminer graphiquement le nombre de meubles à commander chez chacun des fournisseurs pour que la dépense soit minimale, en précisant la méthode utilisée.
3. d. Quelle est alors la dépense en euros ?
Correction :
1. Traduction des contraintes :
ce qui conduit au système :
2. a
2. b.
on construit d'abord les droites qui délimite la région
convenable du plan ce sont les droites d'équation :
et on colorie la région qui ne convient pas :
voir programmation linéaire
3. a . la dépense d = 400 x +
600 y
on trace la droite d'équation 400 x + 600 y
= 15 600
donc : y = -2x/3 + 26
3. b. c.
la droite correspondant à une dépense d quelconque
a pour équation :
y = -2x/3 + d/600 cette droite est parallèle
à la droite d'équation y = -2x/3 + 26
la droite qui correspond à une dépense minimale est
celle qui traverse le domaine en blanc et dont l'ordonnées
à l'origine est la plus petite possible.
Cela se produit pour x = 12 et y = 14
3. d. la dépense est alors de d = 400 ×
12 + 600 ×
14 = 4800 + 8400 = 13200 €.