Exercice programmation linéaire STT CG session 2001

Le mobilier d'une bibliothèque municipale doit être changé pour contenir au moins 4400 livres de petit format et 2600 livres de grand format.
Un premier fournisseur propose des meubles de type A pouvant contenir 110 livres de petit format et 100 livres de grand format pour un prix de 400 euros.
Un deuxième fournisseur propose des meubles de type B pouvant contenir 220 livres de petit format et 100 livres de grand format pour un prix de 600 euros.

Par ailleurs le responsable de la bibliothèque a pour consigne de ne passer aucune commande supérieure à 9600 euros chez un même fournisseur.

1. Soit x le nombre de meubles de type A et y le nombre de meubles de type B.
Traduire les contraintes que doit respecter le bibliothécaire sous forme d'un système d'inéquations portant sur x et y.

2. A tout couple (x, y) de nombres réels, on associe le point M de coordonnées (x, y) dans un repère orthonormal . (On choisira un centimètre pour deux unités).

2.a. Montrer que le système obtenu au 1) est équivalent à

2.b. Déterminer graphiquement l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système précédent. (On hachurera la zone qui ne convient pas).

3.a. Exprimer en fonction de x et y la dépense d occasionnée par l'achat de x meubles du type A et y meubles du type B.

3.b. Tracer dans le repère précédent la droite correspondant à une dépense de 15 600 euros.

3.c. Déterminer graphiquement le nombre de meubles à commander chez chacun des fournisseurs pour que la dépense soit minimale, en précisant la méthode utilisée.

3. d. Quelle est alors la dépense en euros ?

Correction :
1. Traduction des contraintes :

ce qui conduit au système :

2. a

2. b.

on construit d'abord les droites qui délimite la région convenable du plan ce sont les droites d'équation :

et on colorie la région qui ne convient pas :

voir programmation linéaire
3. a . la dépense d = 400 x + 600 y
on trace la droite d'équation 400 x + 600 y = 15 600
donc : y = -2x/3 + 26
3. b. c.

la droite correspondant à une dépense d quelconque a pour équation :
y = -2x/3 + d/600 cette droite est parallèle à la droite d'équation y = -2x/3 + 26
la droite qui correspond à une dépense minimale est celle qui traverse le domaine en blanc et dont l'ordonnées à l'origine est la plus petite possible.
Cela se produit pour x = 12 et y = 14
3. d. la dépense est alors de d = 400 × 12 + 600 × 14 = 4800 + 8400 = 13200 €.